Combien vaut γ à 0,6c, 0,8c et 0,99c ?

γ = 1/√(1 − β²) donne 1,25 à 0,6c, 1,667 à 0,8c et 7,09 à 0,99c. Une horloge en mouvement retarde de ce facteur et une règle en mouvement est raccourcie d'autant.

Pourquoi les axes du référentiel mobile sont-ils inclinés ?

L'axe ct' est la ligne d'univers de l'observateur mobile, x = βct, donc il penche vers la ligne de la lumière. Son axe x' est l'ensemble des événements qu'il juge simultanés avec l'origine, ct = βx, qui penche de l'autre côté du même angle. Quand β tend vers 1, les deux axes se referment sur la ligne à 45°.

Qu'est-ce que l'intervalle d'espace-temps ?

s² = (ct)² − x² entre deux événements. Tous les observateurs inertiels trouvent la même valeur, même s'ils ne sont d'accord ni sur la durée ni sur la distance prises séparément. Si s² est positif, les événements peuvent être reliés causalement et √s² est le temps propre que mesurerait une horloge allant de l'un à l'autre.

Qui est vraiment le plus jeune dans le paradoxe des jumeaux ?

Le jumeau voyageur. La situation n'est pas symétrique : le voyageur change de référentiel au demi-tour, tandis que l'autre reste dans un seul référentiel inertiel. À 0,8c pendant 10 années terrestres, le voyageur vieillit de 6 ans.

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Diagramme d'espace-temps : relativité restreinte

Mets le temps vers le haut et l'espace en largeur : la lumière va à 45°. Un observateur en mouvement découpe le même diagramme autrement : ses axes de temps et d'espace s'inclinent vers la ligne de la lumière.

Facteur de Lorentz γ en fonction de la vitesse β

Mesures

Ce qui se passe

Sur un diagramme de Minkowski, chaque événement est un point (x, ct), et un objet de vitesse v trace une ligne d'univers droite de pente c/v ; la lumière trace les droites à 45° du cône de lumière. Un observateur qui se déplace à β = v/c a ses propres axes : l'axe ct' est sa ligne d'univers, et l'axe x', sa ligne du « maintenant », s'incline vers le haut du même angle. La transformation de Lorentz, ct' = γ(ct − βx) et x' = γ(x − βct) avec γ = 1/√(1 − β²), fait passer d'un système de coordonnées à l'autre. Les graduations des axes inclinés n'ont pas la même longueur que sur les axes droits ; les hyperboles (ct)² − x² = constante les repèrent, car cet intervalle est le même dans tous les référentiels. Deux événements simultanés pour un observateur ne le sont pas pour l'autre. Une horloge liée à S' avance d'une unité pour γ unités de temps de S : c'est la dilatation des durées. Une règle au repos dans S' mesure L₀/γ dans S : c'est la contraction des longueurs. Dans le paradoxe des jumeaux, le voyageur fait demi-tour et change de référentiel, donc les deux lignes d'univers n'accumulent pas le même temps propre et le voyageur revient plus jeune.

γ = 1 / √(1 − β²)ct' = γ(ct − βx)x' = γ(x − βct)s² = (ct)² − x²u = (u' + v) / (1 + u'v/c²)

Lycée (terminale, spécialité physique-chimie) : relativité restreinte, dilatation des durées et temps propre. Licence (première année) : diagrammes de Minkowski, transformation de Lorentz, intervalle invariant et paradoxe des jumeaux.

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Défi

Prédis d'abord : un vaisseau quitte la Terre à 0,8c et revient aussitôt, pendant que 10 ans passent sur Terre. Combien d'années passent à bord ? Active le paradoxe des jumeaux dans Avancé avec un voyage de 10 ans à β = 0,8 et vérifie.

Questions fréquentes

Combien vaut γ à 0,6c, 0,8c et 0,99c ?: γ = 1/√(1 − β²) donne 1,25 à 0,6c, 1,667 à 0,8c et 7,09 à 0,99c. Une horloge en mouvement retarde de ce facteur et une règle en mouvement est raccourcie d'autant.
Pourquoi les axes du référentiel mobile sont-ils inclinés ?: L'axe ct' est la ligne d'univers de l'observateur mobile, x = βct, donc il penche vers la ligne de la lumière. Son axe x' est l'ensemble des événements qu'il juge simultanés avec l'origine, ct = βx, qui penche de l'autre côté du même angle. Quand β tend vers 1, les deux axes se referment sur la ligne à 45°.
Qu'est-ce que l'intervalle d'espace-temps ?: s² = (ct)² − x² entre deux événements. Tous les observateurs inertiels trouvent la même valeur, même s'ils ne sont d'accord ni sur la durée ni sur la distance prises séparément. Si s² est positif, les événements peuvent être reliés causalement et √s² est le temps propre que mesurerait une horloge allant de l'un à l'autre.
Qui est vraiment le plus jeune dans le paradoxe des jumeaux ?: Le jumeau voyageur. La situation n'est pas symétrique : le voyageur change de référentiel au demi-tour, tandis que l'autre reste dans un seul référentiel inertiel. À 0,8c pendant 10 années terrestres, le voyageur vieillit de 6 ans.