Wie schnell muss man für γ = 2 sein?

Stelle γ = 1/√(1 − β²) nach β = √(1 − 1/γ²) um. Für γ = 2 ist β = √(1 − 1/4) = √0,75 = 0,866, also v = 0,866c = 2,60 × 10⁸ m/s. Bei diesem Tempo geht eine bewegte Uhr halb so schnell. Wähle unter Berechnen β aus γ, um die Schritte zu sehen.

Wie groß ist γ bei 0,6c, 0,8c und 0,99c?

γ = 1/√(1 − β²) ergibt 1,25 bei 0,6c, 1,667 bei 0,8c und 7,09 bei 0,99c. Um diesen Faktor geht eine bewegte Uhr langsamer und ist ein bewegter Stab kürzer.

Warum sind die Achsen des bewegten Systems gekippt?

Die ct'-Achse ist die Weltlinie des bewegten Beobachters, x = βct, also neigt sie sich zur Lichtlinie. Seine x'-Achse ist die Menge der Ereignisse, die er für gleichzeitig mit dem Ursprung hält, ct = βx, und neigt sich um denselben Winkel von der anderen Seite. Für β gegen 1 klappen beide Achsen auf die 45°-Linie zu.

Was ist der Raumzeitabstand?

s² = (ct)² − x² zwischen zwei Ereignissen. Alle Inertialbeobachter erhalten denselben Wert, obwohl sie sich über Zeit und Strecke einzeln nicht einig sind. Ist s² positiv, können die Ereignisse kausal verbunden sein, und √s² ist die Eigenzeit, die eine Uhr auf dem Weg von einem zum anderen anzeigt.

Wer ist beim Zwillingsparadoxon wirklich jünger?

Der reisende Zwilling. Die Lage ist nicht symmetrisch: Der Reisende wechselt bei der Umkehr das Bezugssystem, der andere bleibt in einem einzigen Inertialsystem. Bei 0,8c und 10 Erdjahren altert der Reisende 6 Jahre.

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Raumzeitdiagramm: spezielle Relativitätstheorie

Zeichne die Zeit nach oben und den Raum nach rechts, dann läuft Licht unter 45°. Ein bewegter Beobachter teilt dasselbe Diagramm anders ein: Seine Zeit- und Raumachsen kippen zur Lichtlinie hin.

Lorentzfaktor γ über der Geschwindigkeit β

Messwerte

Was passiert hier

Im Minkowski-Diagramm ist jedes Ereignis ein Punkt (x, ct), und etwas mit der Geschwindigkeit v zeichnet eine gerade Weltlinie mit der Steigung c/v; Licht zeichnet die 45°-Linien des Lichtkegels. Ein Beobachter mit β = v/c hat eigene Achsen: Die ct'-Achse ist seine Weltlinie, und die x'-Achse, seine Linie des 'Jetzt', kippt um denselben Winkel nach oben. Die Lorentz-Transformation, ct' = γ(ct − βx) und x' = γ(x − βct) mit γ = 1/√(1 − β²), rechnet zwischen beiden Koordinaten um. Die Einheiten auf den gekippten Achsen sind nicht gleich lang wie auf den geraden; die Hyperbeln (ct)² − x² = konstant markieren sie, weil dieser Abstand in jedem System gleich ist. Ereignisse, die für einen Beobachter gleichzeitig sind, sind es für den anderen nicht. Eine Uhr, die mit S' mitfliegt, tickt einmal pro γ Zeiteinheiten von S: Das ist die Zeitdilatation. Ein in S' ruhender Stab ist in S nur L₀/γ lang: Das ist die Längenkontraktion. Beim Zwillingsparadoxon kehrt der Reisende um und wechselt das Bezugssystem, also sammeln die beiden Weltlinien unterschiedlich viel Eigenzeit, und der Reisende kommt jünger zurück.

γ = 1 / √(1 − β²)ct' = γ(ct − βx)x' = γ(x − βct)s² = (ct)² − x²u = (u' + v) / (1 + u'v/c²)

Oberstufe Physik: spezielle Relativitätstheorie, Zeitdilatation und Längenkontraktion. Studium (erstes Jahr): Minkowski-Diagramme, Lorentz-Transformation, invarianter Abstand und Zwillingsparadoxon.

Rechne die Zahlen mit Physikformeln und Wissenschaftlicher Rechner nach.

Challenge

Erst schätzen: Ein Raumschiff fliegt mit 0,8c von der Erde weg und gleich wieder zurück, auf der Erde vergehen 10 Jahre. Wie viele Jahre vergehen an Bord? Schalte unter Erweitert das Zwillingsparadoxon mit 10 Jahren Reisedauer und β = 0,8 ein und prüfe.

Häufige Fragen

Wie schnell muss man für γ = 2 sein?: Stelle γ = 1/√(1 − β²) nach β = √(1 − 1/γ²) um. Für γ = 2 ist β = √(1 − 1/4) = √0,75 = 0,866, also v = 0,866c = 2,60 × 10⁸ m/s. Bei diesem Tempo geht eine bewegte Uhr halb so schnell. Wähle unter Berechnen β aus γ, um die Schritte zu sehen.
Wie groß ist γ bei 0,6c, 0,8c und 0,99c?: γ = 1/√(1 − β²) ergibt 1,25 bei 0,6c, 1,667 bei 0,8c und 7,09 bei 0,99c. Um diesen Faktor geht eine bewegte Uhr langsamer und ist ein bewegter Stab kürzer.
Warum sind die Achsen des bewegten Systems gekippt?: Die ct'-Achse ist die Weltlinie des bewegten Beobachters, x = βct, also neigt sie sich zur Lichtlinie. Seine x'-Achse ist die Menge der Ereignisse, die er für gleichzeitig mit dem Ursprung hält, ct = βx, und neigt sich um denselben Winkel von der anderen Seite. Für β gegen 1 klappen beide Achsen auf die 45°-Linie zu.
Was ist der Raumzeitabstand?: s² = (ct)² − x² zwischen zwei Ereignissen. Alle Inertialbeobachter erhalten denselben Wert, obwohl sie sich über Zeit und Strecke einzeln nicht einig sind. Ist s² positiv, können die Ereignisse kausal verbunden sein, und √s² ist die Eigenzeit, die eine Uhr auf dem Weg von einem zum anderen anzeigt.
Wer ist beim Zwillingsparadoxon wirklich jünger?: Der reisende Zwilling. Die Lage ist nicht symmetrisch: Der Reisende wechselt bei der Umkehr das Bezugssystem, der andere bleibt in einem einzigen Inertialsystem. Bei 0,8c und 10 Erdjahren altert der Reisende 6 Jahre.