Wie leite ich x² mit dem Differenzenquotienten ab?

Schreib den Differenzenquotienten auf: ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h. Lass h gegen 0 gehen: Der Quotient geht gegen 2x, also f'(x) = 2x. Das h verschwindet erst im Grenzwert, nie durch Einsetzen von h = 0 in den Bruch, denn das ergäbe 0/0.

Warum kann man nicht einfach h = 0 einsetzen?

Die Sekante braucht zwei verschiedene Punkte. Bei h = 0 steht 0/0 da, und das hat keinen Wert. Die Ableitung ist der Wert, dem sich der Differenzenquotient nähert, wenn h kleiner wird: ein Grenzwert.

Warum ist der zentrale Differenzenquotient genauer?

Entwickelt man f(x ± h) als Taylorreihe, heben sich die h²-Terme in f(x + h) − f(x − h) auf, und der Fehler ist etwa f'''(x)h²/6 statt f''(x)h/2. Halbiert man h, halbiert sich der Vorwärtsfehler und der zentrale Fehler wird geviertelt. Im doppelt logarithmischen Fehlerdiagramm haben die Geraden die Steigungen 1 und 2.

Warum wird der Fehler bei winzigem h wieder größer?

Ein Computer speichert etwa 16 signifikante Stellen. Ist h winzig, stimmen f(x + h) und f(x) in fast allen Stellen überein, die Differenz verliert fast ihre ganze Genauigkeit, und das Teilen durch h vergrößert diesen Rundungsfehler von etwa 10⁻¹⁶/h. Das beste Vorwärts-h liegt bei etwa 10⁻⁸. Die Simulation hört bei h = 10⁻⁶ auf, damit die Messwerte aussagekräftig bleiben, und das Fehlerdiagramm zeigt den Boden schon.

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Ableitung mit dem Differenzenquotienten

Die Steigung einer Kurve in einem Punkt ist der Grenzwert der Sekantensteigungen. Zieh den zweiten Punkt Q an P heran und die Sekante wird zur Tangente.

Differenzenquotient und f'(x)

Messwerte

Was passiert hier

Eine Kurve hat keine einheitliche Steigung, also misst man sie in einem Punkt P = (x, f(x)). Nimm einen zweiten Punkt Q einen waagerechten Schritt h weiter. Die Sekante PQ hat die Steigung (f(x + h) − f(x))/h, den Differenzenquotienten, den man immer ausrechnen kann. Geht h gegen 0, rutscht Q auf der Kurve zu P und die Sekantensteigung pendelt sich auf einen Wert ein: die Ableitung f'(x), die Steigung der Tangente in P. Für f(x) = x² ist der Differenzenquotient genau 2x + h, der Grenzwert also 2x. Das Diagramm zeigt den Differenzenquotienten für jedes x beim aktuellen h neben der echten f'(x): Beide treffen sich, wenn h gegen 0 geht. Unter Erweitert nimmt der zentrale Differenzenquotient (f(x + h) − f(x − h))/(2h) je einen Punkt auf beiden Seiten, und sein Fehler schrumpft wie h² statt wie h. Ein Computer kann h nicht bis 0 treiben: Unter etwa 10⁻⁸ übernehmen Rundungsfehler, wie das Fehlerdiagramm zeigt.

f'(x) = lim (f(x + h) − f(x)) / h für h → 0Vorwärtsfehler ≈ ½ f''(x) hzentral: (f(x + h) − f(x − h)) / 2h, Fehler ≈ ⅙ f'''(x) h²

Oberstufe Mathematik (Analysis): Differenzenquotient, Ableitung als Grenzwert, Tangentensteigung. Erstes Studienjahr: finite Differenzen und Rundungsfehler in der Numerik.

Rechne die Zahlen mit Grafikrechner und Wissenschaftlicher Rechner nach.

Challenge

Erst schätzen: Wie groß ist für f(x) = x³ bei x = 2 die Sekantensteigung mit h = 1, und wogegen geht sie, wenn h kleiner wird? Wähle x³, stell x = 2 ein, gib deinen Wert für f'(2) ein und drück h verkleinern.

Häufige Fragen

Wie leite ich x² mit dem Differenzenquotienten ab?: Schreib den Differenzenquotienten auf: ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h. Lass h gegen 0 gehen: Der Quotient geht gegen 2x, also f'(x) = 2x. Das h verschwindet erst im Grenzwert, nie durch Einsetzen von h = 0 in den Bruch, denn das ergäbe 0/0.
Warum kann man nicht einfach h = 0 einsetzen?: Die Sekante braucht zwei verschiedene Punkte. Bei h = 0 steht 0/0 da, und das hat keinen Wert. Die Ableitung ist der Wert, dem sich der Differenzenquotient nähert, wenn h kleiner wird: ein Grenzwert.
Warum ist der zentrale Differenzenquotient genauer?: Entwickelt man f(x ± h) als Taylorreihe, heben sich die h²-Terme in f(x + h) − f(x − h) auf, und der Fehler ist etwa f'''(x)h²/6 statt f''(x)h/2. Halbiert man h, halbiert sich der Vorwärtsfehler und der zentrale Fehler wird geviertelt. Im doppelt logarithmischen Fehlerdiagramm haben die Geraden die Steigungen 1 und 2.
Warum wird der Fehler bei winzigem h wieder größer?: Ein Computer speichert etwa 16 signifikante Stellen. Ist h winzig, stimmen f(x + h) und f(x) in fast allen Stellen überein, die Differenz verliert fast ihre ganze Genauigkeit, und das Teilen durch h vergrößert diesen Rundungsfehler von etwa 10⁻¹⁶/h. Das beste Vorwärts-h liegt bei etwa 10⁻⁸. Die Simulation hört bei h = 10⁻⁶ auf, damit die Messwerte aussagekräftig bleiben, und das Fehlerdiagramm zeigt den Boden schon.