Zufallsexperimente
Wahrscheinlichkeit beschreibt, was auf lange Sicht passiert. Mach Tausende Versuche und sieh zu, wie die relative Häufigkeit sich der Wahrscheinlichkeit nähert, ohne sie je genau zu treffen.
Relative Häufigkeit mit wachsender Versuchszahl
Messwerte
Was passiert hier
Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich (Laplace-Experiment), ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Zahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Zahl aller Ergebnisse: eine 6 mit einem fairen Würfel hat 1/6. Zwei Würfel ergeben 36 gleich wahrscheinliche Paare, und sechs davon haben die Summe 7, also P(7) = 6/36 = 1/6, während P(2) nur 1/36 ist. Ein Experiment liefert stattdessen eine relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch Zahl der Versuche. Bei wenigen Versuchen springt sie herum. Bei vielen pendelt sie sich bei der Wahrscheinlichkeit ein, das ist das Gesetz der großen Zahlen, und nach n Versuchen erwartet man n × P Treffer. Das geht langsam: Die typische Abweichung schrumpft wie 1/√n, 100-mal so viele Versuche machen sie also nur 10-mal kleiner. Für zwei Stufen nacheinander multipliziert ein Baumdiagramm entlang der Pfade. Zieht man zwei Kugeln ohne Zurücklegen, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe, weil sich die Urne geändert hat.
Mittelstufe Mathematik: Laplace-Wahrscheinlichkeit, relative Häufigkeit, Würfelsummen, Baumdiagramme mit Pfadregeln, Ziehen mit und ohne Zurücklegen. Oberstufe: Standardabweichung und Sigma-Umgebung.
Rechne die Zahlen mit Brüche und Prozente und Statistik-Rechner nach.
Challenge
Erst schätzen: Welche Augensumme ist mit zwei Würfeln am wahrscheinlichsten, und wie viele 7en erwartest du bei 600 Würfen? Gib deine Zahl ein, prüfe sie und drück dann Start, um zu sehen, wie nah ein echter Durchlauf kommt.
Die 7: 6 der 36 Paare ergeben sie, also P(7) = 1/6, und man erwartet 600 × 1/6 = 100. Ein echter Durchlauf mit 600 Würfen landet meist etwa 18 neben 100, denn die Standardabweichung der Anzahl ist √(600 × 1/6 × 5/6) ≈ 9,1, und die meisten Durchläufe bleiben innerhalb von zwei davon.
Häufige Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit?
- Die Wahrscheinlichkeit sagt, was auf lange Sicht passieren sollte, berechnet aus den Ergebnissen: 1/6 für eine 6 beim fairen Würfel. Die relative Häufigkeit sagt, was passiert ist: Anzahl geteilt durch Versuche. Mit mehr Versuchen nähert sie sich der Wahrscheinlichkeit, deshalb schätzt man damit Wahrscheinlichkeiten, die man nicht ausrechnen kann, etwa ob eine Reißzwecke mit der Spitze nach oben landet.
- Warum kommen bei 60 Würfen nicht genau zehn 6en?
- Zehn ist der Erwartungswert, der Durchschnitt auf lange Sicht, kein Versprechen. Die Anzahl der 6en in 60 Würfen hat die Standardabweichung √(60 × 1/6 × 5/6) ≈ 2,9, alles von etwa 4 bis 16 ist also normal. Die relative Häufigkeit pendelt sich trotzdem ein, wenn man weiterwürfelt.
- Wie zeichne ich ein Baumdiagramm ohne Zurücklegen?
- An die ersten Äste kommen die Wahrscheinlichkeiten jeder Farbe. Für die zweite Stufe nimmt man zuerst eine Kugel dieser Farbe heraus: Bei 3 roten und 2 blauen sind nach einer roten noch 2 rote und 2 blaue übrig, also P(rot, rot) = 3/5 × 2/4 = 3/10. Entlang eines Pfades multiplizieren (Pfadmultiplikationsregel), verschiedene Pfade addieren (Pfadadditionsregel).
- Warum ist die 7 mit zwei Würfeln am häufigsten?
- Es gibt 36 gleich wahrscheinliche Paare. Sechs davon ergeben 7 (1 und 6, 2 und 5, 3 und 4, jeweils auch umgekehrt), mehr als bei jeder anderen Summe. Nur ein Paar ergibt 2 oder 12, deshalb sind sie selten.