Was sagt der Mittelpunktswinkelsatz?

Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie jeder Umfangswinkel über demselben Bogen. Ist der Mittelpunktswinkel 120°, dann ist der Umfangswinkel 60°.

Was ist der Satz des Thales?

Liegt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB, dann ist der Winkel ACB ein rechter Winkel. Der zugehörige Mittelpunktswinkel ist 180°, die Hälfte davon 90°.

Was gilt im Sehnenviereck?

Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°, weil ihre Bögen zusammen den ganzen Kreis (360°) ergeben.

Was ist der Sehnen-Tangenten-Winkel?

Der Winkel zwischen einer Tangente und einer Sehne durch den Berührpunkt. Er ist so groß wie jeder Umfangswinkel über dieser Sehne auf der anderen Seite.

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Kreiswinkelsätze

Acht Sätze über Winkel am Kreis, einer nach dem anderen. Zieh die Punkte über den Kreis und sieh zu, wie sich die Winkel ändern, während der Satz gültig bleibt, dazu die Begründung, die in die Klassenarbeit gehört.

Messwerte

Was passiert hier

Alle Kreiswinkelsätze folgen aus einer Tatsache: Die Radien OA, OB und OC sind gleich lang, also sind die Dreiecke, die sie mit den Sehnen bilden, gleichschenklig. Teilt man die Figur am Mittelpunkt, ergibt sich daraus der wichtigste Satz: Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel über demselben Bogen. Der Rest folgt daraus. Zwei Umfangswinkel über demselben Bogen sind beide halb so groß wie derselbe Mittelpunktswinkel, also gleich groß. Ein Durchmesser gehört zum Mittelpunktswinkel 180°, also ist der Winkel im Halbkreis 90° (Satz des Thales). Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck stehen über Bögen, die zusammen den ganzen Kreis ergeben, also ergänzen sie sich zu 180°. Eine Tangente berührt den Kreis in einem Punkt und steht dort senkrecht auf dem Radius; daraus folgt, dass die beiden Tangentenabschnitte von einem Punkt außen gleich lang sind, und der Sehnen-Tangenten-Winkelsatz. Das Lot vom Mittelpunkt auf eine Sehne halbiert ein gleichschenkliges Dreieck, also halbiert es die Sehne.

∠AOB = 2∠ACB∠ACB = ∠ADB∠A + ∠C = 180°Tangente ⟂ Radius

Mittelstufe (Klasse 8 und 9): Umfangswinkelsatz, Mittelpunktswinkelsatz, Satz des Thales, Sehnenviereck und Tangente am Kreis.

Rechne die Zahlen mit Wissenschaftlicher Rechner nach.

Challenge

Erst schätzen: Leg beim Mittelpunktswinkel A auf 40°, B auf 150° und C auf 270°. Wie groß ist der Winkel x = ∠ACB? Berechne erst ∠AOB, gib x ein (die Figur versteckt x, solange du tippst) und drück Prüfen.

Häufige Fragen

Was sagt der Mittelpunktswinkelsatz?: Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie jeder Umfangswinkel über demselben Bogen. Ist der Mittelpunktswinkel 120°, dann ist der Umfangswinkel 60°.
Was ist der Satz des Thales?: Liegt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB, dann ist der Winkel ACB ein rechter Winkel. Der zugehörige Mittelpunktswinkel ist 180°, die Hälfte davon 90°.
Was gilt im Sehnenviereck?: Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°, weil ihre Bögen zusammen den ganzen Kreis (360°) ergeben.
Was ist der Sehnen-Tangenten-Winkel?: Der Winkel zwischen einer Tangente und einer Sehne durch den Berührpunkt. Er ist so groß wie jeder Umfangswinkel über dieser Sehne auf der anderen Seite.