Warum verschiebt f(x + 2) den Graphen nach links?

Weil der neue Graph jeden Wert 2 Einheiten früher erreicht: Was f bei x = 0 tat, passiert jetzt bei x = −2. y = f(x + a) ist also eine Verschiebung um a nach links.

Was ist der Unterschied zwischen 2f(x) und f(2x)?

2f(x) verdoppelt jeden y-Wert: Streckung in y-Richtung mit Faktor 2. f(2x) erreicht jeden Wert schon beim halben x: Stauchung in x-Richtung mit Faktor 1/2.

Was machen −f(x) und f(−x)?

−f(x) ist eine Spiegelung an der x-Achse (jedes y wechselt das Vorzeichen). f(−x) ist eine Spiegelung an der y-Achse (jedes x wechselt das Vorzeichen).

Wie beschreibe ich y = f(2x − 6)?

Erst in der Klammer ausklammern: f(2x − 6) = f(2(x − 3)). Das ist eine Stauchung in x-Richtung mit Faktor 1/2 und danach eine Verschiebung um 3 nach rechts. Zuerst um 6 zu verschieben ergäbe einen anderen Graphen.

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Transformation von Funktionsgraphen

Wähl einen Graphen und streck, spiegel und verschieb ihn mit y = a f(b(x − h)) + k. Die blasse Kurve ist das Original, die kräftige das Bild, und der goldene Punkt zeigt genau, wohin ein Punkt wandert.

Messwerte

Was passiert hier

Änderungen außerhalb der Klammer wirken auf y und tun, wonach sie aussehen: y = a f(x) streckt den Graphen in y-Richtung mit Faktor a (ein negatives a spiegelt ihn zusätzlich an der x-Achse), und y = f(x) + k verschiebt ihn um k nach oben. Änderungen in der Klammer wirken auf x und tun das Gegenteil von dem, wonach sie aussehen: y = f(bx) streckt in x-Richtung mit Faktor 1/b, f(2x) staucht den Graphen also auf die halbe Breite, und f(x − h) verschiebt um h nach rechts, f(x + 2) also um 2 nach links. Zusammen geht jeder Punkt (x | y) von y = f(x) nach (x/b + h | ay + k). In der Klammer zählt die Reihenfolge: f(2x − 6) ist f(2(x − 3)), also erst Stauchung mit Faktor 1/2 und dann Verschiebung um 3 nach rechts, nicht um 6. Asymptoten wandern mit: 1/(x − 3) + 1 hat die Asymptoten x = 3 und y = 1.

y = a f(b(x − h)) + k(x | y) → (x/b + h | ay + k)f(x − h): Verschiebung um h nach rechtsf(bx): Streckung in x-Richtung mit Faktor 1/b

Mittelstufe: Verschieben und Strecken der Normalparabel. Oberstufe Mathematik: Transformation von Funktionsgraphen, Streckung, Stauchung, Spiegelung, Asymptoten.

Rechne die Zahlen mit Grafikrechner nach.

Challenge

Erst schätzen: Der Punkt (2 | 4) liegt auf y = x². Wohin wandert er auf y = 2(x + 1)² − 3? Berechne die neue x-Koordinate, gib sie ein, drück Prüfen und stell dann a = 2, h = −1 und k = −3 mit dem Punkt bei x = 2 ein.

Häufige Fragen

Warum verschiebt f(x + 2) den Graphen nach links?: Weil der neue Graph jeden Wert 2 Einheiten früher erreicht: Was f bei x = 0 tat, passiert jetzt bei x = −2. y = f(x + a) ist also eine Verschiebung um a nach links.
Was ist der Unterschied zwischen 2f(x) und f(2x)?: 2f(x) verdoppelt jeden y-Wert: Streckung in y-Richtung mit Faktor 2. f(2x) erreicht jeden Wert schon beim halben x: Stauchung in x-Richtung mit Faktor 1/2.
Was machen −f(x) und f(−x)?: −f(x) ist eine Spiegelung an der x-Achse (jedes y wechselt das Vorzeichen). f(−x) ist eine Spiegelung an der y-Achse (jedes x wechselt das Vorzeichen).
Wie beschreibe ich y = f(2x − 6)?: Erst in der Klammer ausklammern: f(2x − 6) = f(2(x − 3)). Das ist eine Stauchung in x-Richtung mit Faktor 1/2 und danach eine Verschiebung um 3 nach rechts. Zuerst um 6 zu verschieben ergäbe einen anderen Graphen.