Wie berechne ich P(a < X < b) bei einer Normalverteilung?

Jede Grenze standardisieren mit z = (x − μ)/σ, Φ(z) für beide nachschlagen und abziehen: P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a). Die Simulation schattiert genau diese Fläche und zeigt den Wert auf vier Nachkommastellen.

Warum 1,96 für 95 %?

Φ(1,96) = 0,975, also liegen 2,5 % der Fläche über z = 1,96 und wegen der Symmetrie 2,5 % unter z = −1,96. Die übrigen 95 % liegen dazwischen.

Wann darf ich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung ersetzen?

Wenn n groß ist und p nicht nahe bei 0 oder 1 liegt, sodass np und n(1 − p) beide größer als etwa 5 sind (oft auch σ > 3 als Regel). Nimm μ = np, σ² = np(1 − p) und erweitere jede ganzzahlige Grenze um 0,5 (Stetigkeitskorrektur). Schalte die Näherung unter Erweitert ein, um zu vergleichen.

Was macht die inverse Normalverteilung?

Sie geht den umgekehrten Weg: Du gibst eine Wahrscheinlichkeit p vor und sie findet den Wert b mit P(X < b) = p. Die oberen 2,5 % der Standardnormalverteilung beginnen zum Beispiel bei z = 1,96.

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Normalverteilung und Binomialverteilung

Die Wahrscheinlichkeit ist die schattierte Fläche. Grenzen verschieben, μ und σ (oder n und p) ändern und zusehen, wie Zufallsstichproben dieselbe Form bilden.

Anteil der Stichproben im Bereich

Messwerte

Was passiert hier

Eine stetige Zufallsgröße hat an einem einzelnen Punkt keine Wahrscheinlichkeit, nur über einem Intervall, und diese Wahrscheinlichkeit ist die Fläche unter der Dichtekurve. Eine Normalverteilung ist durch Erwartungswert μ und Standardabweichung σ festgelegt, und jede wird zur Standardnormalverteilung, wenn man in z = (x − μ)/σ misst. Deshalb liegen immer 95 % der Werte innerhalb von 1,96 Standardabweichungen um den Mittelwert. Die Binomialverteilung zählt Treffer in n unabhängigen Versuchen mit Wahrscheinlichkeit p: ihre Balken addieren sich genauso. Drück Ziehen für Zufallswerte: Das goldene Histogramm legt sich auf die Kurve und der Anteil in deinem Bereich nähert sich der Wahrscheinlichkeit. Das ist das Gesetz der großen Zahlen.

z = (x − μ) / σP(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)P(X = k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

Oberstufe Mathematik (Stochastik): Binomialverteilung, Normalverteilung, Sigma-Regeln und Näherung der Binomialverteilung. Statistik im ersten Studienjahr.

Rechne die Zahlen mit Statistik-Rechner nach.

Challenge

Erst schätzen: Welcher Anteil einer Normalverteilung liegt innerhalb von 2 Standardabweichungen um den Mittelwert? Und innerhalb von 1,96? Stell a und b ein, lies die Fläche ab und zieh dann 2000 Werte.

Häufige Fragen

Wie berechne ich P(a < X < b) bei einer Normalverteilung?: Jede Grenze standardisieren mit z = (x − μ)/σ, Φ(z) für beide nachschlagen und abziehen: P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a). Die Simulation schattiert genau diese Fläche und zeigt den Wert auf vier Nachkommastellen.
Warum 1,96 für 95 %?: Φ(1,96) = 0,975, also liegen 2,5 % der Fläche über z = 1,96 und wegen der Symmetrie 2,5 % unter z = −1,96. Die übrigen 95 % liegen dazwischen.
Wann darf ich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung ersetzen?: Wenn n groß ist und p nicht nahe bei 0 oder 1 liegt, sodass np und n(1 − p) beide größer als etwa 5 sind (oft auch σ > 3 als Regel). Nimm μ = np, σ² = np(1 − p) und erweitere jede ganzzahlige Grenze um 0,5 (Stetigkeitskorrektur). Schalte die Näherung unter Erweitert ein, um zu vergleichen.
Was macht die inverse Normalverteilung?: Sie geht den umgekehrten Weg: Du gibst eine Wahrscheinlichkeit p vor und sie findet den Wert b mit P(X < b) = p. Die oberen 2,5 % der Standardnormalverteilung beginnen zum Beispiel bei z = 1,96.