Wie wende ich das Newton-Verfahren an?

Leite f ab, wähle einen Startwert x₀ nahe der Nullstelle und wiederhole xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ), bis zwei aufeinanderfolgende Werte in der gewünschten Genauigkeit übereinstimmen. Für x² − 2 ab x₀ = 1 kommen 1,5; 1,41667; 1,414216; 1,41421356 heraus.

Wann scheitert das Newton-Verfahren?

Ist f'(xₙ) = 0, ist die Tangente waagerecht und schneidet die x-Achse nie, das Verfahren bricht ab; das passiert, wenn man an einer Extremstelle startet. Ein Start in der Nähe einer solchen Stelle schickt den nächsten Wert weit weg. Es kann auch kreisen: Für x³ − 2x + 2 ab x₀ = 0 laufen die Werte 0, 1, 0, 1 ohne Ende. Ein anderer Startwert hilft meistens.

Woran erkenne ich, ob x = g(x) konvergiert?

Berechne g'(x) nahe der Nullstelle. Ist |g'(α)| 1, entfernt sie sich von der Nullstelle, egal wie nah man startet. Je kleiner |g'(α)|, desto schneller geht es.

Wie viele Schritte braucht die Bisektion?

Jeder Schritt halbiert das Intervall, nach n Schritten ist es (b − a)/2ⁿ breit. Um die Nullstelle aus einem Intervall der Breite 1 auf 10⁻⁶ genau zu bekommen, braucht man 2ⁿ > 10⁶, also n = 20 Schritte. Das sind etwa 3,3 Schritte pro Dezimalstelle, viel langsamer als Newton, aber sicher, sobald es einen Vorzeichenwechsel gibt.

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Numerische Verfahren: Newton, Fixpunktiteration, Bisektion

Für die Nullstellen der meisten Gleichungen gibt es keine Formel, also nähert man sich ihnen Schritt für Schritt. Vergleiche drei Verfahren, wie schnell sie ankommen und wie jedes scheitern kann.

Fehler über Schritt (logarithmisch)

Messwerte

Was passiert hier

Das Newton-Verfahren startet bei einem Wert x₀, legt dort die Tangente an und nimmt ihren Schnittpunkt mit der x-Achse als nächsten Wert: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ). Nahe einer einfachen Nullstelle konvergiert es quadratisch: Jeder Fehler ist ungefähr das Quadrat des vorigen, die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich also etwa. Es scheitert, wenn eine Tangente waagerecht ist (f'(xₙ) = 0), und es kann in einen Zyklus geraten. Die Fixpunktiteration schreibt f(x) = 0 als x = g(x) und wiederholt xₙ₊₁ = g(xₙ). Im Bild heißt das: hoch zur Kurve, hinüber zu y = x und wieder von vorn, eine Treppe, wenn g' positiv ist, und ein Spinnennetz, wenn g' negativ ist. Jeder Schritt multipliziert den Fehler mit etwa |g'(α)| an der Nullstelle α, also konvergiert sie nur für |g'(α)| < 1. Die Bisektion braucht nur einen Vorzeichenwechsel: Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, liegt bei stetigem f eine Nullstelle dazwischen, und jeder Test in der Mitte halbiert das Intervall. Sie scheitert nie, gewinnt aber nur alle 3,3 Schritte eine Stelle.

xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f'(xₙ)xₙ₊₁ = g(xₙ), konvergiert für |g'(α)| < 1Newton: eₙ₊₁ ≈ C eₙ² Fixpunkt: eₙ₊₁ ≈ |g'(α)| eₙ

Oberstufe Mathematik: Nullstellen über Vorzeichenwechsel und Intervallhalbierung, Newton-Verfahren. Erstes Studienjahr (Numerik): Fixpunktiteration, Banachscher Fixpunktsatz und Konvergenzordnung.

Rechne die Zahlen mit Gleichungslöser und Grafikrechner nach.

Challenge

Erst schätzen: Newton-Verfahren für x² − 2 = 0 ab x₀ = 1. Wie groß sind x₁ und x₂, und wie viele richtige Stellen von √2 hat x₄? Gib dein x₁ ein, prüfe es und geh dann Schritt für Schritt weiter.

Häufige Fragen

Wie wende ich das Newton-Verfahren an?: Leite f ab, wähle einen Startwert x₀ nahe der Nullstelle und wiederhole xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ), bis zwei aufeinanderfolgende Werte in der gewünschten Genauigkeit übereinstimmen. Für x² − 2 ab x₀ = 1 kommen 1,5; 1,41667; 1,414216; 1,41421356 heraus.
Wann scheitert das Newton-Verfahren?: Ist f'(xₙ) = 0, ist die Tangente waagerecht und schneidet die x-Achse nie, das Verfahren bricht ab; das passiert, wenn man an einer Extremstelle startet. Ein Start in der Nähe einer solchen Stelle schickt den nächsten Wert weit weg. Es kann auch kreisen: Für x³ − 2x + 2 ab x₀ = 0 laufen die Werte 0, 1, 0, 1 ohne Ende. Ein anderer Startwert hilft meistens.
Woran erkenne ich, ob x = g(x) konvergiert?: Berechne g'(x) nahe der Nullstelle. Ist |g'(α)| < 1, konvergiert die Iteration für genügend nahe Startwerte, als Treppe bei positivem g'(α) und als Spinnennetz bei negativem. Ist |g'(α)| > 1, entfernt sie sich von der Nullstelle, egal wie nah man startet. Je kleiner |g'(α)|, desto schneller geht es.
Wie viele Schritte braucht die Bisektion?: Jeder Schritt halbiert das Intervall, nach n Schritten ist es (b − a)/2ⁿ breit. Um die Nullstelle aus einem Intervall der Breite 1 auf 10⁻⁶ genau zu bekommen, braucht man 2ⁿ > 10⁶, also n = 20 Schritte. Das sind etwa 3,3 Schritte pro Dezimalstelle, viel langsamer als Newton, aber sicher, sobald es einen Vorzeichenwechsel gibt.