Wie bestimme ich das Argument einer komplexen Zahl?

Zeichne sie in die Zahlenebene und miss den Winkel ab der positiven reellen Achse, gegen den Uhrzeigersinn positiv. arctan(b/a) stimmt nur für a > 0: Für a < 0 addierst oder subtrahierst du π, damit das Hauptargument in (−π, π] liegt.

Warum addieren sich beim Multiplizieren die Argumente?

Schreib z = r(cos α + i sin α) und w = s(cos β + i sin β). Ausmultiplizieren und die Additionstheoreme liefern zw = rs(cos(α + β) + i sin(α + β)). Die Beträge werden multipliziert, die Winkel addiert.

Was sind Einheitswurzeln?

Die n Lösungen von zⁿ = 1, also e^(2πik/n) für k = 0, 1, ..., n − 1. Sie liegen gleichmäßig verteilt auf dem Einheitskreis, an den Ecken eines regelmäßigen n-Ecks, und für n ≥ 2 ist ihre Summe 0.

Welches Hauptargument hat −1, und welches 0?

−1 liegt auf der negativen reellen Achse, das Hauptargument ist π (nicht −π, weil das Intervall (−π, π] ist). 0 hat gar kein Argument, weil es keine Richtung hat.

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Komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene

Jede komplexe Zahl ist ein Punkt und ein Pfeil. Addieren hängt Pfeile aneinander, Multiplizieren multipliziert die Längen und addiert die Winkel.

Messwerte

Was passiert hier

Eine komplexe Zahl z = a + bi ist der Punkt (a, b) in der Gaußschen Zahlenebene, oder ein Pfeil der Länge |z| = √(a² + b²) im Winkel arg z zur positiven reellen Achse. Beim Addieren werden die Pfeile addiert, z + w ist also die gegenüberliegende Ecke eines Parallelogramms. Multiplizieren ist Drehen und Strecken: |zw| = |z||w| und arg zw = arg z + arg w. Deshalb sind die Dreiecke 0, 1, z und 0, w, zw ähnlich, und deshalb ist Mal-i (Betrag 1, Winkel 90°) eine Vierteldrehung. Dividieren macht es rückgängig. Wiederholtes Multiplizieren liefert den Satz von de Moivre: zⁿ hat den Betrag |z|ⁿ und das Argument n arg z, die Potenzen laufen also spiralförmig nach außen (|z| > 1) oder nach innen (|z| < 1). Umgekehrt haben die n Wurzeln von z den Betrag |z|^1/n und liegen 2π/n auseinander, an den Ecken eines regelmäßigen Vielecks. Für z = 1 sind das die Einheitswurzeln, und ihre Summe ist immer 0. Das Hauptargument ist das im Intervall (−π, π].

z = a + bi = r(cos θ + i sin θ) = re^iθ|zw| = |z||w|, arg zw = arg z + arg wzⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)z^1/n = r^1/n e^iθ/n e^2πik/n

Oberstufe (Leistungskurs, wo komplexe Zahlen unterrichtet werden): Gaußsche Zahlenebene, Polarform, Potenzen und Wurzeln. Studium: Analysis und lineare Algebra im ersten Semester.

Rechne die Zahlen mit Einheitskreis und Wissenschaftlicher Rechner nach.

Challenge

Erst schätzen: z = 1 + i. Welchen Betrag und welches Argument hat z⁸? Rechne mit de Moivre, wähle dann zⁿ, stell n = 8 ein und prüfe.

Häufige Fragen

Wie bestimme ich das Argument einer komplexen Zahl?: Zeichne sie in die Zahlenebene und miss den Winkel ab der positiven reellen Achse, gegen den Uhrzeigersinn positiv. arctan(b/a) stimmt nur für a > 0: Für a < 0 addierst oder subtrahierst du π, damit das Hauptargument in (−π, π] liegt.
Warum addieren sich beim Multiplizieren die Argumente?: Schreib z = r(cos α + i sin α) und w = s(cos β + i sin β). Ausmultiplizieren und die Additionstheoreme liefern zw = rs(cos(α + β) + i sin(α + β)). Die Beträge werden multipliziert, die Winkel addiert.
Was sind Einheitswurzeln?: Die n Lösungen von zⁿ = 1, also e^2πik/n für k = 0, 1, ..., n − 1. Sie liegen gleichmäßig verteilt auf dem Einheitskreis, an den Ecken eines regelmäßigen n-Ecks, und für n ≥ 2 ist ihre Summe 0.
Welches Hauptargument hat −1, und welches 0?: −1 liegt auf der negativen reellen Achse, das Hauptargument ist π (nicht −π, weil das Intervall (−π, π] ist). 0 hat gar kein Argument, weil es keine Richtung hat.