Wie finde ich die Matrix einer Abbildung?

Schau, wohin die Einheitsvektoren gehen. Das Bild von i = (1, 0) ist die erste Spalte, das Bild von j = (0, 1) die zweite. Eine Drehung um θ gegen den Uhrzeigersinn schickt i nach (cos θ, sin θ) und j nach (−sin θ, cos θ), die Matrix ist also (cos θ −sin θ ; sin θ cos θ).

Was sagt die Determinante?

|det M| ist der Flächenfaktor. Das Vorzeichen gibt die Orientierung an: positiv bleibt sie, negativ wird gespiegelt, und 0 heißt, dass die Ebene auf eine Gerade oder einen Punkt gedrückt wird und es keine Inverse gibt.

Was ist der Unterschied zwischen Fixgerade und Fixpunktgerade?

Auf einer Fixpunktgeraden bleibt jeder einzelne Punkt, wo er ist (Eigenwert 1). Eine Fixgerade wird als Ganzes auf sich abgebildet, ihre Punkte dürfen aber entlang wandern. Die Ursprungsgeraden beider Sorten liegen in Richtung eines Eigenvektors.

Warum ist AB nicht gleich BA?

AB heißt: erst B, dann A. Erst drehen, dann spiegeln landet meist woanders als erst spiegeln, dann drehen, also unterscheiden sich die Produkte. Schalt unter Erweitert die Verkettung ein und tausch die Reihenfolge.

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Matrizen als Abbildungen

Eine 2×2-Matrix bewegt jeden Punkt der Ebene. Ihre Spalten sind die Bilder von i und j, ihre Determinante sagt, wie sich Flächen ändern, und ihre Eigenvektoren sind die Geraden, die sich nicht drehen.

Messwerte

Was passiert hier

Eine 2×2-Matrix M bildet jeden Punkt (x, y) auf M(x, y) ab, und weil die Abbildung linear ist, reicht es zu wissen, wohin die beiden Einheitsvektoren gehen: Die erste Spalte von M ist das Bild von i, die zweite das Bild von j. Das Gitter folgt, Quadrate werden zu Parallelogrammen, und jede Fläche wird mit |det M| multipliziert. Eine negative Determinante heißt, dass die Ebene umgeklappt wurde (sieh auf das F), und Determinante 0 drückt alles auf eine Gerade oder einen Punkt, dann gibt es keine Inverse. Ein Eigenvektor v ist eine Richtung, die die Matrix nicht dreht: Mv = λv, also ist die Ursprungsgerade in Richtung v eine invariante Gerade, gestreckt um den Eigenwert λ. Bei λ = 1 bleibt jeder Punkt darauf genau, wo er ist: eine Fixpunktgerade. Drehungen um andere Winkel als 0° oder 180° haben komplexe Eigenwerte und keine invarianten Geraden durch den Ursprung. Erst B, dann A ist die eine Matrix AB, und die ist meist nicht BA.

M(x, y) = x(Mi) + y(Mj)Bildfläche = |det M| × Flächedet M = ad − bcMv = λv, λ² − (a + d)λ + det M = 0

Oberstufe (Leistungskurs, wo Matrizen unterrichtet werden): Abbildungsmatrizen und Verkettung. Studium, Lineare Algebra im ersten Semester: Determinante, Eigenwerte und Eigenvektoren.

Rechne die Zahlen mit Grafikrechner und Gleichungslöser nach.

Challenge

Erst schätzen: die Scherung M = (1 2 ; 0 1). Welche Determinante hat sie, und welche Gerade besteht aus Fixpunkten? Wähl Scherung, stell k = 2 ein und prüf die Messwerte und die goldene Gerade.

Häufige Fragen

Wie finde ich die Matrix einer Abbildung?: Schau, wohin die Einheitsvektoren gehen. Das Bild von i = (1, 0) ist die erste Spalte, das Bild von j = (0, 1) die zweite. Eine Drehung um θ gegen den Uhrzeigersinn schickt i nach (cos θ, sin θ) und j nach (−sin θ, cos θ), die Matrix ist also (cos θ −sin θ ; sin θ cos θ).
Was sagt die Determinante?: |det M| ist der Flächenfaktor. Das Vorzeichen gibt die Orientierung an: positiv bleibt sie, negativ wird gespiegelt, und 0 heißt, dass die Ebene auf eine Gerade oder einen Punkt gedrückt wird und es keine Inverse gibt.
Was ist der Unterschied zwischen Fixgerade und Fixpunktgerade?: Auf einer Fixpunktgeraden bleibt jeder einzelne Punkt, wo er ist (Eigenwert 1). Eine Fixgerade wird als Ganzes auf sich abgebildet, ihre Punkte dürfen aber entlang wandern. Die Ursprungsgeraden beider Sorten liegen in Richtung eines Eigenvektors.
Warum ist AB nicht gleich BA?: AB heißt: erst B, dann A. Erst drehen, dann spiegeln landet meist woanders als erst spiegeln, dann drehen, also unterscheiden sich die Produkte. Schalt unter Erweitert die Verkettung ein und tausch die Reihenfolge.