Was ist der Unterschied zwischen Taylor- und Maclaurin-Reihe?

Keiner im Wesen: Die Maclaurin-Reihe ist die Taylorreihe um a = 0. Um eine beliebige Stelle a nimmt man Potenzen von (x − a) und die Ableitungen bei a.

Warum gilt die Reihe für ln(1 + x) nur für −1 < x ≤ 1?

ln(1 + x) ist bei x = −1 nicht definiert, und eine Potenzreihe um 0 konvergiert auf einer Kreisscheibe, die diesen Punkt nicht enthalten kann, also ist der Radius 1. Bei x = 1 entsteht 1 − 1/2 + 1/3 − ..., das konvergiert (gegen ln 2); bei x = −1 ist es die negative harmonische Reihe, die divergiert.

Warum hat arctan x den Radius 1, obwohl es überall definiert ist?

Die Ableitung 1/(1 + x²) explodiert bei den komplexen Zahlen x = ±i, im Abstand 1 von 0. Eine Potenzreihe konvergiert auf einer Kreisscheibe in der komplexen Ebene, und die endet am nächsten Problem, auch wenn es nicht auf der reellen Achse liegt.

Wie benutze ich das Lagrange-Restglied?

Bilde die (n + 1)-te Ableitung, schätze ihren Betrag zwischen a und x durch M ab, dann gilt |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!. Für sin x reicht immer M = 1.

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Taylor- und Maclaurin-Reihen

Ein Taylorpolynom übernimmt Funktionswert und die ersten n Ableitungen an einer Stelle. Mit mehr Termen schmiegt es sich weiter hinaus an die Kurve, aber nur bis zum Konvergenzradius.

Fehler bei x₀ über dem Grad n (logarithmisch)

Messwerte

Was passiert hier

In der Nähe von x = a sieht eine glatte Funktion aus wie ihre Tangente, und noch mehr wie ein Polynom, das dort Funktionswert und die ersten n Ableitungen mit ihr teilt: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!. Entwickelt man um a = 0, heißt das Maclaurin-Reihe. Bei eˣ, sin x und cos x werden die Polynome mit wachsendem n überall besser, weil das k! im Nenner irgendwann jede Potenz von x schlägt. Bei ln(1 + x), 1/(1 − x), √(1 + x) und arctan x werden sie nur im Konvergenzintervall besser, im Abstand R um a; außerhalb wächst der Fehler mit n, egal wie viele Terme man nimmt. R ist der Abstand von a zur nächsten Stelle, an der die Funktion versagt, und bei arctan liegt diese Stelle gar nicht auf der reellen Achse: Es sind ±i, wo 1/(1 + x²) explodiert. Das Lagrange-Restglied schätzt den Fehler ab, ohne die Antwort zu kennen: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.

Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ / k!eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − ..., −1 < x ≤ 1|Rₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹ / (n + 1)!

Studium, Analysis im ersten Jahr: Satz von Taylor, Lagrange-Restglied, Potenzreihen und Konvergenzradius. In der Oberstufe ist die Tangente das Taylorpolynom vom Grad 1.

Rechne die Zahlen mit Grafikrechner und Wissenschaftlicher Rechner nach.

Challenge

Erst schätzen: f = sin x um a = 0. Welchen Grad n brauchst du, damit Pₙ(3) höchstens 0,001 von sin 3 abweicht? Nimm die Lagrange-Schranke 3ⁿ⁺¹/(n + 1)!, stell dann x₀ = 3 ein und erhöhe n.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Taylor- und Maclaurin-Reihe?: Keiner im Wesen: Die Maclaurin-Reihe ist die Taylorreihe um a = 0. Um eine beliebige Stelle a nimmt man Potenzen von (x − a) und die Ableitungen bei a.
Warum gilt die Reihe für ln(1 + x) nur für −1 < x ≤ 1?: ln(1 + x) ist bei x = −1 nicht definiert, und eine Potenzreihe um 0 konvergiert auf einer Kreisscheibe, die diesen Punkt nicht enthalten kann, also ist der Radius 1. Bei x = 1 entsteht 1 − 1/2 + 1/3 − ..., das konvergiert (gegen ln 2); bei x = −1 ist es die negative harmonische Reihe, die divergiert.
Warum hat arctan x den Radius 1, obwohl es überall definiert ist?: Die Ableitung 1/(1 + x²) explodiert bei den komplexen Zahlen x = ±i, im Abstand 1 von 0. Eine Potenzreihe konvergiert auf einer Kreisscheibe in der komplexen Ebene, und die endet am nächsten Problem, auch wenn es nicht auf der reellen Achse liegt.
Wie benutze ich das Lagrange-Restglied?: Bilde die (n + 1)-te Ableitung, schätze ihren Betrag zwischen a und x durch M ab, dann gilt |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!. Für sin x reicht immer M = 1.