Wie berechne ich Fourierkoeffizienten?

Bei Periode 2π ist aₙ = (1/π)∫ f(t) cos nt dt und bₙ = (1/π)∫ f(t) sin nt dt über eine Periode, und a₀/2 ist der Mittelwert von f. Für die Rechteckwelle (−1, dann 1) ergibt das bₙ = 4/(nπ) für ungerade n, alle anderen Koeffizienten sind 0.

Warum hat eine ungerade Funktion nur Sinusterme?

Wenn f(−t) = −f(t), dann ist auch f(t) cos nt ungerade, und eine ungerade Funktion hat über eine symmetrische Periode das Integral 0, also sind alle aₙ = 0. Genauso sind bei einer geraden Funktion alle bₙ = 0.

Was ist das gibbssche Phänomen?

Neben einem Sprung schießt eine Fourier-Teilsumme um etwa 8,95 % der Sprunghöhe über die Welle hinaus, und mehr Terme beseitigen das nicht: Der Überschwinger wird nur schmaler und rückt näher an den Sprung. Der exakte Grenzwert der Spitze ist (2/π)Si(π) ≈ 1,179 für einen Sprung von −1 auf 1.

Was sagt die Parsevalsche Gleichung?

Das Mittel von f² ist (a₀/2)² + ½Σ(aₙ² + bₙ²). Die Energie, die einer Teilsumme fehlt, und damit der Effektivfehler, ergibt sich also direkt aus den fehlenden Koeffizienten.

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Fourierreihen

Jede periodische Welle lässt sich aus Sinus- und Kosinuswellen mit ganzzahligen Vielfachen einer Grundfrequenz zusammensetzen. Nimm Oberschwingungen dazu und sieh, wie die Summe sich der Welle nähert, überall außer direkt neben einem Sprung.

Spektrum: Amplitude jeder Oberschwingung

Messwerte

Was passiert hier

Eine Welle mit Periode 2π lässt sich als Konstante plus Oberschwingungen schreiben: f(t) ≈ a₀/2 + Σ (aₙ cos nt + bₙ sin nt). Jeder Koeffizient misst, wie viel von dieser Oberschwingung in der Welle steckt; man bekommt ihn, indem man mit cos nt oder sin nt multipliziert und über eine Periode mittelt, denn verschiedene Oberschwingungen mitteln sich gegenseitig weg. Symmetrie nimmt viel Arbeit ab: Eine ungerade Welle braucht nur Sinus, eine gerade nur Kosinus, und eine mit f(t + π) = −f(t) nur ungerade Oberschwingungen. Bei glatten Wellen fallen die Koeffizienten schnell (wie 1/n² beim Dreieck) und die Summe passt bald; bei Wellen mit Sprung fallen sie nur wie 1/n und die Summe wackelt. Direkt neben einem Sprung schießt die Teilsumme immer um etwa 8,95 % der Sprunghöhe über, egal wie viele Terme man nimmt: das gibbssche Phänomen. Der Überschwinger wird schmaler, deshalb geht der quadratische Mittelwert des Fehlers trotzdem gegen 0, und die Parsevalsche Gleichung liefert ihn direkt aus den Koeffizienten. Drück Start, dann wird jede Oberschwingung zu einem rotierenden Pfeil: Die Pfeile hängen aneinander, und die Höhe der letzten Spitze zeichnet die Summe.

f(t) ≈ a₀/2 + Σ (aₙ cos nt + bₙ sin nt)aₙ = (1/π)∫ f(t) cos nt dt, bₙ = (1/π)∫ f(t) sin nt dtRechteck: (4/π)(sin t + sin 3t/3 + sin 5t/5 + ...)Effektivfehler² = Mittel von f² − (a₀/2)² − ½Σ(aₙ² + bₙ²)

Studium (Mathematik, Physik, Ingenieurwesen) im ersten Jahr: Fourierreihen, gerade und ungerade Funktionen, Konvergenz, gibbssches Phänomen und Parsevalsche Gleichung.

Rechne die Zahlen mit Grafikrechner nach.

Challenge

Erst schätzen: Geht der Überschwinger der Rechteckwelle neben dem Sprung mit wachsendem N gegen 0? Schätze seine Größe bei N = 99 in Prozent der Sprunghöhe, gib sie ein, schalt dann unter Erweitert den Zoom ein und erhöhe N.

Häufige Fragen

Wie berechne ich Fourierkoeffizienten?: Bei Periode 2π ist aₙ = (1/π)∫ f(t) cos nt dt und bₙ = (1/π)∫ f(t) sin nt dt über eine Periode, und a₀/2 ist der Mittelwert von f. Für die Rechteckwelle (−1, dann 1) ergibt das bₙ = 4/(nπ) für ungerade n, alle anderen Koeffizienten sind 0.
Warum hat eine ungerade Funktion nur Sinusterme?: Wenn f(−t) = −f(t), dann ist auch f(t) cos nt ungerade, und eine ungerade Funktion hat über eine symmetrische Periode das Integral 0, also sind alle aₙ = 0. Genauso sind bei einer geraden Funktion alle bₙ = 0.
Was ist das gibbssche Phänomen?: Neben einem Sprung schießt eine Fourier-Teilsumme um etwa 8,95 % der Sprunghöhe über die Welle hinaus, und mehr Terme beseitigen das nicht: Der Überschwinger wird nur schmaler und rückt näher an den Sprung. Der exakte Grenzwert der Spitze ist (2/π)Si(π) ≈ 1,179 für einen Sprung von −1 auf 1.
Was sagt die Parsevalsche Gleichung?: Das Mittel von f² ist (a₀/2)² + ½Σ(aₙ² + bₙ²). Die Energie, die einer Teilsumme fehlt, und damit der Effektivfehler, ergibt sich also direkt aus den fehlenden Koeffizienten.