Wie stelle ich die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte auf?

Berechne die Steigung m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Setz einen Punkt in y − y₁ = m(x − x₁) ein und forme nach y um. Für (−2 | −1) und (4 | 3): m = 4/6 = 2/3, und y + 1 = (2/3)(x + 2) ergibt y = (2/3)x + 1/3.

Woran erkenne ich, dass zwei Geraden senkrecht sind?

Multipliziere die Steigungen. Ist das Produkt −1, stehen sie senkrecht aufeinander: Eine Gerade mit Steigung 2/3 ist senkrecht zu jeder Geraden mit Steigung −3/2. Die Ausnahme sind eine senkrechte und eine waagerechte Gerade, denn die senkrechte hat keine Steigung.

Was bedeutet c in y = mx + c?

Es ist der y-Achsenabschnitt: der y-Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet, denn x = 0 eingesetzt lässt y = c übrig.

Wie berechne ich Mittelpunkt und Länge von AB?

Der Mittelpunkt mittelt die Koordinaten: ((x₁ + x₂)/2 | (y₁ + y₂)/2). Die Länge ist √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), also Pythagoras mit Breite und Höhe.

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Geraden: y = mx + c

Zieh zwei Punkte und lies die Gerade durch sie ab: ihre Steigung als Höhe durch Breite des Steigungsdreiecks, die Achsenschnittpunkte und die Gleichung mit exakten Brüchen.

Messwerte

Was passiert hier

Die Steigung m einer Geraden sagt, um wie viel sie pro 1 nach rechts steigt: Nimm zwei beliebige Punkte und teile die Änderung von y (die Höhe) durch die Änderung von x (die Breite). Weil die Gerade gerade ist, liefert jedes Punktepaar dasselbe Ergebnis, deshalb darf das goldene Steigungsdreieck überall sitzen. Der y-Achsenabschnitt c ist die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, also lässt sich y = mx + c direkt am Bild ablesen. Multipliziert man die Brüche weg, entsteht die allgemeine Form ax + by + c = 0 mit ganzen Zahlen. Parallele Geraden haben dieselbe Steigung; bei senkrechten Geraden ist das Produkt der Steigungen −1. Der Mittelpunkt von AB mittelt die Koordinaten, und die Länge von AB kommt aus dem Satz des Pythagoras mit Höhe und Breite.

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)y − y₁ = m(x − x₁)m₁ × m₂ = −1AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Mittelstufe (Klasse 8 bis 10): lineare Funktionen, Steigungsdreieck, Achsenabschnitt, Geradengleichung durch zwei Punkte. Oberstufe: orthogonale Geraden, Mittelpunkt und Abstand zweier Punkte.

Rechne die Zahlen mit Grafikrechner und Brüche und Prozente nach.

Challenge

Erst schätzen: die Gerade durch A(−2 | −1) und B(4 | 3). Wie groß ist ihre Steigung, und wo schneidet sie die y-Achse? Gib die Steigung als Dezimalzahl ein, drück Prüfen und zieh dann A und B dorthin, um das Steigungsdreieck abzulesen.

Häufige Fragen

Wie stelle ich die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte auf?: Berechne die Steigung m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Setz einen Punkt in y − y₁ = m(x − x₁) ein und forme nach y um. Für (−2 | −1) und (4 | 3): m = 4/6 = 2/3, und y + 1 = (2/3)(x + 2) ergibt y = (2/3)x + 1/3.
Woran erkenne ich, dass zwei Geraden senkrecht sind?: Multipliziere die Steigungen. Ist das Produkt −1, stehen sie senkrecht aufeinander: Eine Gerade mit Steigung 2/3 ist senkrecht zu jeder Geraden mit Steigung −3/2. Die Ausnahme sind eine senkrechte und eine waagerechte Gerade, denn die senkrechte hat keine Steigung.
Was bedeutet c in y = mx + c?: Es ist der y-Achsenabschnitt: der y-Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet, denn x = 0 eingesetzt lässt y = c übrig.
Wie berechne ich Mittelpunkt und Länge von AB?: Der Mittelpunkt mittelt die Koordinaten: ((x₁ + x₂)/2 | (y₁ + y₂)/2). Die Länge ist √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), also Pythagoras mit Breite und Höhe.