Was besagt das dritte Keplersche Gesetz?

Das Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse: T² = 4π²a³/GM. In Jahren und Astronomischen Einheiten um die Sonne wird daraus einfach T² = a³, also braucht Jupiter bei 5,2 AE 11,9 Jahre.

Warum ist ein Planet in Sonnennähe schneller?

Der Drehimpuls bleibt erhalten, weil die Kraft zur Sonne zeigt. Also bleibt r × v konstant, und ein kleineres r verlangt ein größeres v. Das ist das zweite Keplersche Gesetz, der Flächensatz.

Was ist der Unterschied zwischen Bahngeschwindigkeit und Fluchtgeschwindigkeit?

Die Kreisbahngeschwindigkeit ist √(GM/r), die Fluchtgeschwindigkeit √(2GM/r), genau √2-mal so groß. Bei Fluchtgeschwindigkeit ist die Gesamtenergie null, und der Körper kann bis ins Unendliche fliegen. Auf der Erdbahn sind das 29,8 km/s und 42,1 km/s.

Ändert die Masse des Planeten seine Bahn?

Kaum, solange der Planet viel leichter als der Stern ist. Seine Masse kürzt sich aus der Beschleunigung GM/r² heraus, also folgen ein Kieselstein und ein Planet bei gleichem Start derselben Bahn.

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Umlaufbahnen und Keplersche Gesetze

Gib einem Planeten einen seitlichen Stoß, und die Gravitation biegt seine Bahn zu einer Ellipse. Tempo, Abstand und Sternmasse bestimmen Form und Jahreslänge.

Energie pro Kilogramm über der Zeit

Messwerte

Was passiert hier

Die Gravitation zieht den Planeten mit der Kraft GMm/r² zum Stern. Seitlich mit genau dem richtigen Tempo √(GM/r) gestartet, fällt er auf einer Kreisbahn um ihn herum; etwas schneller oder langsamer, und die Bahn wird eine Ellipse mit dem Stern in einem Brennpunkt. Kepler fand drei Regeln in der Planetenbewegung. Die Bahnen sind Ellipsen (erstes Gesetz). Der Fahrstrahl vom Stern zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen, also ist der Planet nah am Stern schnell und weit weg langsam (zweites Gesetz, die Erhaltung des Drehimpulses). Und das Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse, T = 2π√(a³/GM) (drittes Gesetz). Die Gesamtenergie aus Bewegungs- und Lageenergie bleibt konstant; erreicht sie null, hat der Planet Fluchtgeschwindigkeit, √2-mal die Kreisbahngeschwindigkeit, und kommt nie zurück. Die Simulation rechnet in Astronomischen Einheiten, Jahren und Sonnenmassen und integriert mit einem symplektischen Verfahren, das die Energie über viele Umläufe stabil hält.

F = GMm / r²v_Kreis = √(GM / r)T = 2π √(a³ / GM)v_Flucht = √(2GM / r)E = ½v² − GM/r = −GM / 2a

Oberstufe Physik: Gravitationsfeld, Planeten- und Satellitenbahnen, Keplersche Gesetze, Fluchtgeschwindigkeit. Studium (Mechanik im ersten Jahr): Zentralkräfte und Keplerproblem.

Rechne die Zahlen mit Physikformeln und Wissenschaftlicher Rechner nach.

Challenge

Erst schätzen: Der Mars umläuft die Sonne mit einer großen Halbachse von 1,524 AE. Wie lang ist ein Marsjahr in Erdjahren? Wähle Mars, tipp deine Antwort ein, prüfe, dann starte und lies die gemessene Umlaufzeit ab.

Häufige Fragen

Was besagt das dritte Keplersche Gesetz?: Das Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse: T² = 4π²a³/GM. In Jahren und Astronomischen Einheiten um die Sonne wird daraus einfach T² = a³, also braucht Jupiter bei 5,2 AE 11,9 Jahre.
Warum ist ein Planet in Sonnennähe schneller?: Der Drehimpuls bleibt erhalten, weil die Kraft zur Sonne zeigt. Also bleibt r × v konstant, und ein kleineres r verlangt ein größeres v. Das ist das zweite Keplersche Gesetz, der Flächensatz.
Was ist der Unterschied zwischen Bahngeschwindigkeit und Fluchtgeschwindigkeit?: Die Kreisbahngeschwindigkeit ist √(GM/r), die Fluchtgeschwindigkeit √(2GM/r), genau √2-mal so groß. Bei Fluchtgeschwindigkeit ist die Gesamtenergie null, und der Körper kann bis ins Unendliche fliegen. Auf der Erdbahn sind das 29,8 km/s und 42,1 km/s.
Ändert die Masse des Planeten seine Bahn?: Kaum, solange der Planet viel leichter als der Stern ist. Seine Masse kürzt sich aus der Beschleunigung GM/r² heraus, also folgen ein Kieselstein und ein Planet bei gleichem Start derselben Bahn.