Welche Energie hat ein Teilchen im Kasten?

Im unendlich tiefen Potentialtopf der Breite L gilt Eₙ = n²h²/(8mL²) mit n = 1, 2, 3 und so weiter. Für ein Elektron in einem 1-nm-Kasten liegt der Grundzustand bei 0,376 eV, und die Niveaus wachsen mit n²: n = 2 liegt bei 1,50 eV, n = 3 bei 3,38 eV.

Warum ist die tiefste Energie nicht null?

Eine Welle, die an beiden Wänden verschwindet, braucht mindestens eine halbe Wellenlänge im Kasten, also ist ihre Wellenlänge höchstens 2L und ihr Impuls mindestens h/(2L). Diese verbleibende Bewegungsenergie ist die Nullpunktsenergie, passend zur Unschärferelation: Wer das Teilchen einsperrt, erzwingt eine Impulsunschärfe.

Was ist der Tunneleffekt?

Ein Teilchen trifft auf eine Barriere, die höher ist als seine Energie. Klassisch würde es abprallen, aber die Wellenfunktion fällt in der Barriere ab, statt an ihrem Rand abzubrechen, also erreicht bei einer dünnen Barriere etwas Welle die andere Seite. Dort ist das Teilchen dann mit kleiner Wahrscheinlichkeit zu finden. Der Tunneleffekt erklärt den Alphazerfall, das Rastertunnelmikroskop und Flash-Speicher.

Wie hängt die Transmission von der Barrierenbreite ab?

Für eine dicke oder hohe Barriere ist T etwa 16(E/V₀)(1 − E/V₀) e^(−2κa), also senkt jedes zusätzliche 1/(2κ) an Breite die Transmission um den Faktor e. Für ein Elektron 2 eV unter dem Barrierenrand ist κ etwa 7,2 pro nm, und 0,1 nm mehr Barriere senken T ungefähr auf ein Viertel.

← Alle Simulationen

Teilchen im Kasten und Tunneleffekt

Sperr ein Elektron in einen winzigen Kasten, und es kann nur bestimmte Energien haben. Schick es gegen eine Barriere, die es nicht überwinden kann, und ein Teil kommt trotzdem durch.

Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte |ψ|²

Messwerte

Was passiert hier

In der Quantenmechanik beschreibt eine Wellenfunktion ψ das Teilchen, und |ψ|² ist die Wahrscheinlichkeit pro Länge, es an einer Stelle zu finden. Im unendlich tiefen Potentialtopf der Breite L muss die Welle an beiden Wänden null sein, also passen nur ganze Vielfache halber Wellenlängen hinein: λ = 2L/n. Über de Broglie p = h/λ legt das die Energie fest, Eₙ = n²h²/(8mL²): Die Niveaus wachsen wie 1, 4, 9, 16, und die tiefste Energie ist nicht null. Der Zustand n hat n − 1 Knoten im Kasten. Eine Mischung aus zwei Zuständen ist nicht stationär: Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit schwappt mit der Periode h/(E₂ − E₁) hin und her. Trifft das Teilchen auf eine Barriere der Höhe V₀ über seiner Energie E, bricht die Welle an der Wand nicht ab, sondern fällt im Inneren wie e^−κx ab, mit κ = √(2m(V₀ − E))/ħ. Ist die Barriere dünn, bleibt auf der anderen Seite etwas Welle übrig: Das ist der Tunneleffekt, und die Transmission sinkt etwa wie e^−2κa mit der Breite a. Oberhalb der Barriere kann das Teilchen trotzdem reflektiert werden, außer bei Resonanzen, wenn ganze halbe Wellenlängen in die Barriere passen und T = 1 ist.

Eₙ = n²h² / (8mL²)ψₙ = √(2/L) sin(nπx/L)κ = √(2m(V₀ − E)) / ħT ≈ 16(E/V₀)(1 − E/V₀) e^−2κa

Oberstufe Physik: Quantenobjekte, de-Broglie-Wellenlänge und Elektron im Potentialtopf. Studium (Quantenmechanik): unendlicher Potentialtopf, Normierung, Superposition und Transmission durch eine Rechteckbarriere.

Rechne die Zahlen mit Physikformeln und Wissenschaftlicher Rechner nach.

Challenge

Erst schätzen: Ein Elektron sitzt in einem Kasten von 1,0 nm Breite. Wie groß ist seine Grundzustandsenergie in eV? Was passiert mit dieser Energie, wenn du den Kasten doppelt so breit machst? Rechne mit E = h²/(8mL²) und prüfe mit dem Messwert.

Häufige Fragen

Welche Energie hat ein Teilchen im Kasten?: Im unendlich tiefen Potentialtopf der Breite L gilt Eₙ = n²h²/(8mL²) mit n = 1, 2, 3 und so weiter. Für ein Elektron in einem 1-nm-Kasten liegt der Grundzustand bei 0,376 eV, und die Niveaus wachsen mit n²: n = 2 liegt bei 1,50 eV, n = 3 bei 3,38 eV.
Warum ist die tiefste Energie nicht null?: Eine Welle, die an beiden Wänden verschwindet, braucht mindestens eine halbe Wellenlänge im Kasten, also ist ihre Wellenlänge höchstens 2L und ihr Impuls mindestens h/(2L). Diese verbleibende Bewegungsenergie ist die Nullpunktsenergie, passend zur Unschärferelation: Wer das Teilchen einsperrt, erzwingt eine Impulsunschärfe.
Was ist der Tunneleffekt?: Ein Teilchen trifft auf eine Barriere, die höher ist als seine Energie. Klassisch würde es abprallen, aber die Wellenfunktion fällt in der Barriere ab, statt an ihrem Rand abzubrechen, also erreicht bei einer dünnen Barriere etwas Welle die andere Seite. Dort ist das Teilchen dann mit kleiner Wahrscheinlichkeit zu finden. Der Tunneleffekt erklärt den Alphazerfall, das Rastertunnelmikroskop und Flash-Speicher.
Wie hängt die Transmission von der Barrierenbreite ab?: Für eine dicke oder hohe Barriere ist T etwa 16(E/V₀)(1 − E/V₀) e^−2κa, also senkt jedes zusätzliche 1/(2κ) an Breite die Transmission um den Faktor e. Für ein Elektron 2 eV unter dem Barrierenrand ist κ etwa 7,2 pro nm, und 0,1 nm mehr Barriere senken T ungefähr auf ein Viertel.