Warum liegt die Resonanzfrequenz unter der Eigenfrequenz?

Die Dämpfung verschiebt das Maximum der Amplitude nach ωᵣ = √(ω₀² − γ²/2). Bei schwacher Dämpfung ist die Verschiebung winzig; bei starker Dämpfung (γ² > 2ω₀²) gibt es gar kein Maximum mehr, und die Amplitude fällt einfach mit steigender Frequenz.

Q = ω₀/γ, die Eigenfrequenz geteilt durch die Dämpfungsrate. Ein hohes Q bedeutet eine hohe, schmale Resonanzspitze und einen Oszillator, der etwa Q/π Perioden nachschwingt. Eine Stimmgabel hat ein Q von etwa 1000, eine Autofederung etwa 1.

Warum geht die Phasenverschiebung von 0 auf 180°?

Bei niedriger Frequenz überwiegt die Feder, und die Masse bewegt sich mit der Kraft. Bei ω₀ heben sich Feder und Trägheit auf, und nur der Dämpfer bremst: Die Geschwindigkeit ist in Phase mit der Kraft, die Auslenkung hinkt 90° hinterher. Bei hoher Frequenz überwiegt die Trägheit, und die Masse bewegt sich gegen die Kraft.

Was ist ein Einschwingvorgang?

Wenn die Anregung beginnt, enthält die Bewegung einen Anteil mit der Eigenfrequenz, der wie e^(−γt/2) abklingt. Nach einigen 2/γ bleibt nur der eingeschwungene Zustand mit der Erregerfrequenz übrig. Deshalb landet die gemessene Amplitude schließlich auf der berechneten Kurve.

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Resonanz: der erzwungene, gedämpfte Oszillator

Treib eine gedämpfte Feder mit verschiedenen Frequenzen an. Nahe ihrer Eigenfrequenz wächst die Antwort steil an, und die Dämpfung bestimmt, wie hoch und schmal die Spitze ist.

Auslenkung und Anregung über der Zeit

Messwerte

Was passiert hier

Eine Masse an einer Feder gehorcht m x'' + b x' + k x = F₀ cos ωt: Die Feder zieht zurück, der Dämpfer bremst die Bewegung, und eine Kraft treibt mit der Kreisfrequenz ω an. Aus der Ruhe gestartet, setzt sich die Bewegung aus einem Einschwingvorgang zusammen, der mit der Eigenfrequenz schwingt und wie e^−γt/2 mit γ = b/m abklingt, und einem eingeschwungenen Zustand, der der Anregung folgt. Dieser ist x = A cos(ωt − φ) mit A = (F₀/m)/√((ω₀² − ω²)² + (γω)²) und der Phasenverschiebung φ = tan⁻¹(γω/(ω₀² − ω²)). Weit unter ω₀ folgt die Masse einfach der Kraft; bei ω₀ hinkt sie eine Viertelperiode hinterher und die Kraft verrichtet am meisten Arbeit; weit darüber schwingt sie gegen die Kraft mit kleiner Amplitude. Die Amplitude ist knapp unter ω₀ am größten, bei ωᵣ = √(ω₀² − γ²/2). Die Güte Q = ω₀/γ misst, wie scharf die Resonanz ist: Die Halbwertsbreite der Leistungskurve ist γ, und bei Resonanz ist die Amplitude etwa Q-mal die statische Auslenkung F₀/k. Im eingeschwungenen Zustand liefert die Anregung pro Periode genau so viel Energie, wie der Dämpfer in Wärme umwandelt.

m x'' + b x' + k x = F₀ cos ωtA = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + (γω)²)tan φ = γω / (ω₀² − ω²)ωᵣ = √(ω₀² − γ²/2)Q = ω₀ / γ, Δω ≈ γ

Oberstufe Physik: erzwungene Schwingungen, Dämpfung und Resonanz. Studium (Mechanik, erstes Jahr): getriebener gedämpfter harmonischer Oszillator, Güte, Bandbreite und Phasengang.

Rechne die Zahlen mit Physikformeln und Grafikrechner nach.

Challenge

Erst schätzen: Bei ω₀ = 4,0 rad/s, m = 1 kg und b = 0,8 kg/s, bei welcher Erregerfrequenz ist die Amplitude am größten? Wie viel größer als die statische Auslenkung F₀/k ist sie dort? Tipp deine Frequenz ein und prüfe.

Häufige Fragen

Warum liegt die Resonanzfrequenz unter der Eigenfrequenz?: Die Dämpfung verschiebt das Maximum der Amplitude nach ωᵣ = √(ω₀² − γ²/2). Bei schwacher Dämpfung ist die Verschiebung winzig; bei starker Dämpfung (γ² > 2ω₀²) gibt es gar kein Maximum mehr, und die Amplitude fällt einfach mit steigender Frequenz.
Was ist die Güte Q?: Q = ω₀/γ, die Eigenfrequenz geteilt durch die Dämpfungsrate. Ein hohes Q bedeutet eine hohe, schmale Resonanzspitze und einen Oszillator, der etwa Q/π Perioden nachschwingt. Eine Stimmgabel hat ein Q von etwa 1000, eine Autofederung etwa 1.
Warum geht die Phasenverschiebung von 0 auf 180°?: Bei niedriger Frequenz überwiegt die Feder, und die Masse bewegt sich mit der Kraft. Bei ω₀ heben sich Feder und Trägheit auf, und nur der Dämpfer bremst: Die Geschwindigkeit ist in Phase mit der Kraft, die Auslenkung hinkt 90° hinterher. Bei hoher Frequenz überwiegt die Trägheit, und die Masse bewegt sich gegen die Kraft.
Was ist ein Einschwingvorgang?: Wenn die Anregung beginnt, enthält die Bewegung einen Anteil mit der Eigenfrequenz, der wie e^−γt/2 abklingt. Nach einigen 2/γ bleibt nur der eingeschwungene Zustand mit der Erregerfrequenz übrig. Deshalb landet die gemessene Amplitude schließlich auf der berechneten Kurve.