Resonancia: el oscilador forzado y amortiguado
Impulsa un muelle amortiguado a distintas frecuencias. Cerca de su frecuencia natural la respuesta crece mucho, y el amortiguamiento decide la altura y la anchura del pico.
Desplazamiento y fuerza impulsora frente al tiempo
Lecturas
Qué está pasando
Una masa en un muelle cumple m x'' + b x' + k x = F₀ cos ωt: el muelle tira hacia atrás, el amortiguador frena el movimiento y una fuerza lo impulsa con frecuencia angular ω. Partiendo del reposo, el movimiento es la suma de un transitorio, que oscila a la frecuencia propia y se apaga como e−γt/2 con γ = b/m, y de un estado estacionario que sigue a la fuerza. El estacionario es x = A cos(ωt − φ) con amplitud A = (F₀/m)/√((ω₀² − ω²)² + (γω)²) y desfase φ = tg⁻¹(γω/(ω₀² − ω²)).
Muy por debajo de ω₀ la masa sigue a la fuerza; en ω₀ va un cuarto de ciclo por detrás y la fuerza hace el máximo trabajo; muy por encima se mueve al revés que la fuerza y con poca amplitud. La amplitud es máxima un poco por debajo de ω₀, en ωᵣ = √(ω₀² − γ²/2).
El factor de calidad Q = ω₀/γ mide lo agudo de la resonancia: la anchura del pico a media potencia es γ, y en resonancia la amplitud es unas Q veces el estiramiento estático F₀/k. En el estado estacionario la energía que aporta la fuerza en cada ciclo es igual a la que el amortiguador convierte en calor.
- Ecuación del movimientom x'' + b x' + k x = F₀ cos ωt
- AmplitudA = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + (γω)²)
- Desfasetg φ = γω / (ω₀² − ω²)
- Frecuencia de resonanciaωᵣ = √(ω₀² − γ²/2)
- Factor Q y ancho de bandaQ = ω₀ / γ, Δω ≈ γ
En el temario
- Bachillerato Físicaoscilaciones forzadas, amortiguamiento y resonancia
- Primer curso de universidadoscilador armónico forzado y amortiguado, factor Q, anchura de banda y respuesta en fase
Reto
Predice primero: con ω₀ = 4,0 rad/s, m = 1 kg y b = 0,8 kg/s, ¿a qué frecuencia de excitación es mayor la amplitud? ¿Cuántas veces mayor que el estiramiento estático F₀/k es allí? Escribe tu frecuencia y comprueba.
γ = b/m = 0,8 s⁻¹, así que ωᵣ = √(16 − 0,32) = 3,96 rad/s. Allí A = 1 / (0,8 × √(16 − 0,16)) = 0,314 m, mientras que F₀/k = 1/16 = 0,0625 m: unas 5 veces más, que es Q = ω₀/γ = 5.
Apréndelo bien
Lecciones de GCSE Combined and Separate Science sobre este tema: pasos resueltos y después preguntas tipo examen con números nuevos cada vez. Las lecciones están en inglés.
- Transverse and longitudinal wavesWaves and the electromagnetic spectrumGratis
- Springs, elasticity and the force-extension practicalForces, work, elasticity, moments and pressurePlus
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Preguntas frecuentes
¿Cómo calculo la frecuencia de resonancia de un oscilador amortiguado?
Calcula γ = b/m y luego ωᵣ = √(ω₀² − γ²/2). Una masa de 1 kg con ω₀ = 4 rad/s y b = 0,8 kg/s tiene γ = 0,8 s⁻¹, así que ωᵣ = √(16 − 0,32) = 3,96 rad/s y Q = ω₀/γ = 5. Si γ² ≥ 2ω₀² no hay pico. Elige Frecuencia de resonancia en Calcular para ver cada paso.
¿Por qué la frecuencia de resonancia es menor que la natural?
El amortiguamiento desplaza el pico de la amplitud a ωᵣ = √(ω₀² − γ²/2). Con poco amortiguamiento el cambio es mínimo; con mucho (γ² > 2ω₀²) no hay pico y la amplitud solo baja al subir la frecuencia.
¿Qué es el factor Q?
Q = ω₀/γ, la frecuencia natural dividida por la tasa de amortiguamiento. Un Q alto significa un pico alto y estrecho y un oscilador que suena unos Q/π ciclos antes de apagarse. Un diapasón tiene un Q de unos 1000; la suspensión de un coche, alrededor de 1.
¿Por qué el desfase va de 0 a 180°?
A baja frecuencia domina el muelle y la masa se mueve con la fuerza. En ω₀ el muelle y la inercia se compensan y solo frena el amortiguador: la velocidad va en fase con la fuerza y el desplazamiento se retrasa 90°. A alta frecuencia domina la inercia y la masa va al revés que la fuerza.
¿Qué son los transitorios?
Al empezar la excitación, el movimiento incluye una parte a la frecuencia propia que decae como e−γt/2. Pasados unos cuantos 2/γ solo queda el estado estacionario a la frecuencia de la fuerza. Por eso la amplitud medida acaba sobre la curva analítica.