¿Por qué f(x + 2) mueve la gráfica a la izquierda?

Porque la nueva gráfica llega a cada valor 2 unidades antes: lo que f hacía en x = 0 ahora pasa en x = −2. Así que y = f(x + a) es una traslación según el vector (−a, 0).

¿Qué diferencia hay entre 2f(x) y f(2x)?

2f(x) duplica cada valor de y: un estiramiento vertical de factor 2. f(2x) llega a cada valor con la mitad de x: una compresión horizontal de factor 1/2.

¿Qué hacen −f(x) y f(−x)?

−f(x) es una simetría respecto al eje x (cada y cambia de signo). f(−x) es una simetría respecto al eje y (cada x cambia de signo).

¿Cómo describo y = f(2x − 6)?

Saca factor común dentro del paréntesis: f(2x − 6) = f(2(x − 3)). Es una compresión horizontal de factor 1/2 y luego una traslación según (3, 0). Trasladar 6 primero daría otra gráfica.

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Transformaciones de funciones

Elige una gráfica y estírala, refléjala y desplázala con y = a f(b(x − h)) + k. La curva tenue es la original, la gruesa es la imagen, y el punto dorado muestra adónde va un punto.

Lecturas

Qué está pasando

Los cambios fuera del paréntesis actúan sobre y y hacen lo que parecen: y = a f(x) estira la gráfica en la dirección del eje y con factor a (si a es negativo también la refleja respecto al eje x), e y = f(x) + k la sube k unidades. Los cambios dentro del paréntesis actúan sobre x y hacen lo contrario de lo que parecen: y = f(bx) estira en la dirección del eje x con factor 1/b, así que f(2x) comprime la gráfica a la mitad de anchura, y f(x − h) la mueve h a la derecha, así que f(x + 2) la mueve 2 a la izquierda. En conjunto, cada punto (x, y) de y = f(x) va a (x/b + h, ay + k). El orden importa dentro del paréntesis: f(2x − 6) es f(2(x − 3)), una compresión de factor 1/2 y luego un desplazamiento de 3 a la derecha, no de 6. Las asíntotas se mueven con la gráfica: 1/(x − 3) + 1 tiene asíntotas x = 3 e y = 1.

y = a f(b(x − h)) + k(x, y) → (x/b + h, ay + k)f(x − h): traslación según (h, 0)f(bx): dilatación horizontal de factor 1/b

ESO (4.º): traslaciones de funciones y familias de gráficas. Bachillerato (Matemáticas I): transformaciones de funciones, dilataciones, simetrías y asíntotas.

Haz las cuentas con Calculadora gráfica.

Reto

Predice primero: el punto (2, 4) está en y = x². ¿Adónde va en y = 2(x + 1)² − 3? Calcula la nueva coordenada x, escríbela, pulsa Comprobar y luego pon a = 2, h = −1 y k = −3 con el punto en x = 2.

Preguntas frecuentes

¿Por qué f(x + 2) mueve la gráfica a la izquierda?: Porque la nueva gráfica llega a cada valor 2 unidades antes: lo que f hacía en x = 0 ahora pasa en x = −2. Así que y = f(x + a) es una traslación según el vector (−a, 0).
¿Qué diferencia hay entre 2f(x) y f(2x)?: 2f(x) duplica cada valor de y: un estiramiento vertical de factor 2. f(2x) llega a cada valor con la mitad de x: una compresión horizontal de factor 1/2.
¿Qué hacen −f(x) y f(−x)?: −f(x) es una simetría respecto al eje x (cada y cambia de signo). f(−x) es una simetría respecto al eje y (cada x cambia de signo).
¿Cómo describo y = f(2x − 6)?: Saca factor común dentro del paréntesis: f(2x − 6) = f(2(x − 3)). Es una compresión horizontal de factor 1/2 y luego una traslación según (3, 0). Trasladar 6 primero daría otra gráfica.