¿Cuál es la energía de una partícula en una caja?

En un pozo infinito de anchura L, Eₙ = n²h²/(8mL²) con n = 1, 2, 3, etc. Para un electrón en una caja de 1 nm el estado fundamental vale 0,376 eV y los niveles crecen como n²: n = 2 vale 1,50 eV y n = 3 vale 3,38 eV.

¿Por qué la energía mínima no es cero?

Una onda que se anula en las dos paredes necesita al menos media longitud de onda dentro de la caja, así que su longitud de onda es como mucho 2L y su momento al menos h/(2L). Esa energía cinética que sobra es la energía de punto cero, y cuadra con el principio de incertidumbre: confinar la partícula obliga a una dispersión del momento.

¿Qué es el efecto túnel?

Una partícula llega a una barrera más alta que su energía. Clásicamente rebotaría, pero la función de onda decae dentro de la barrera en vez de pararse en su borde, así que si la barrera es fina algo de onda llega al otro lado. Hay entonces una pequeña probabilidad de encontrarla allí. El efecto túnel explica la desintegración alfa, el microscopio de efecto túnel y la memoria flash.

¿Cómo depende la transmisión de la anchura de la barrera?

Para una barrera gruesa o alta, T vale aproximadamente 16(E/V₀)(1 − E/V₀) e^(−2κa), así que cada 1/(2κ) de anchura extra divide la transmisión por e. Para un electrón 2 eV por debajo de la cima, κ es unos 7,2 por nm, y añadir 0,1 nm de barrera reduce T unas cuatro veces.

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Partícula en una caja y efecto túnel

Encierra un electrón en una caja diminuta y solo podrá tener ciertas energías. Lánzalo contra una barrera que no puede subir y una parte la atraviesa igualmente.

Densidad de probabilidad |ψ|²

Lecturas

Qué está pasando

En mecánica cuántica una partícula se describe con una función de onda ψ, y |ψ|² es la probabilidad por unidad de longitud de encontrarla en cada punto. En un pozo infinito de anchura L la onda se anula en las dos paredes, así que solo caben números enteros de medias longitudes de onda: λ = 2L/n. Con la relación de De Broglie p = h/λ eso fija la energía, Eₙ = n²h²/(8mL²): los niveles crecen como 1, 4, 9, 16 y la energía mínima no es cero. El estado n tiene n − 1 nodos dentro de la caja. Una mezcla de dos estados no es estacionaria: la probabilidad oscila de un lado a otro con periodo h/(E₂ − E₁). Ante una barrera de altura V₀ mayor que la energía E, la onda no se para en la pared sino que decae dentro como e^−κx, con κ = √(2m(V₀ − E))/ħ. Si la barrera es delgada, queda algo de onda al otro lado: es el efecto túnel, y la transmisión cae más o menos como e^−2κa con la anchura a. Por encima de la barrera la partícula aún puede reflejarse, salvo en las resonancias en que caben medias longitudes de onda enteras en la barrera y T = 1.

Eₙ = n²h² / (8mL²)ψₙ = √(2/L) sen(nπx/L)κ = √(2m(V₀ − E)) / ħT ≈ 16(E/V₀)(1 − E/V₀) e^−2κa

Bachillerato (Física): física cuántica, dualidad onda-partícula y longitud de onda de De Broglie. Universidad (Física Cuántica): pozo infinito, normalización, superposición y transmisión a través de una barrera.

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Reto

Predice primero: un electrón está atrapado en una caja de 1,0 nm. ¿Cuál es su energía fundamental en eV? Si duplicas la anchura de la caja, ¿qué le pasa a esa energía? Usa E = h²/(8mL²) y compruébalo con la lectura.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la energía de una partícula en una caja?: En un pozo infinito de anchura L, Eₙ = n²h²/(8mL²) con n = 1, 2, 3, etc. Para un electrón en una caja de 1 nm el estado fundamental vale 0,376 eV y los niveles crecen como n²: n = 2 vale 1,50 eV y n = 3 vale 3,38 eV.
¿Por qué la energía mínima no es cero?: Una onda que se anula en las dos paredes necesita al menos media longitud de onda dentro de la caja, así que su longitud de onda es como mucho 2L y su momento al menos h/(2L). Esa energía cinética que sobra es la energía de punto cero, y cuadra con el principio de incertidumbre: confinar la partícula obliga a una dispersión del momento.
¿Qué es el efecto túnel?: Una partícula llega a una barrera más alta que su energía. Clásicamente rebotaría, pero la función de onda decae dentro de la barrera en vez de pararse en su borde, así que si la barrera es fina algo de onda llega al otro lado. Hay entonces una pequeña probabilidad de encontrarla allí. El efecto túnel explica la desintegración alfa, el microscopio de efecto túnel y la memoria flash.
¿Cómo depende la transmisión de la anchura de la barrera?: Para una barrera gruesa o alta, T vale aproximadamente 16(E/V₀)(1 − E/V₀) e^−2κa, así que cada 1/(2κ) de anchura extra divide la transmisión por e. Para un electrón 2 eV por debajo de la cima, κ es unos 7,2 por nm, y añadir 0,1 nm de barrera reduce T unas cuatro veces.