Resonancia: el oscilador forzado y amortiguado

Qué está pasando

Una masa en un muelle cumple m x'' + b x' + k x = F₀ cos ωt: el muelle tira hacia atrás, el amortiguador frena el movimiento y una fuerza lo impulsa con frecuencia angular ω. Partiendo del reposo, el movimiento es la suma de un transitorio, que oscila a la frecuencia propia y se apaga como e^−γt/2 con γ = b/m, y de un estado estacionario que sigue a la fuerza. El estacionario es x = A cos(ωt − φ) con amplitud A = (F₀/m)/√((ω₀² − ω²)² + (γω)²) y desfase φ = tg⁻¹(γω/(ω₀² − ω²)). Muy por debajo de ω₀ la masa sigue a la fuerza; en ω₀ va un cuarto de ciclo por detrás y la fuerza hace el máximo trabajo; muy por encima se mueve al revés que la fuerza y con poca amplitud. La amplitud es máxima un poco por debajo de ω₀, en ωᵣ = √(ω₀² − γ²/2). El factor de calidad Q = ω₀/γ mide lo agudo de la resonancia: la anchura del pico a media potencia es γ, y en resonancia la amplitud es unas Q veces el estiramiento estático F₀/k. En el estado estacionario la energía que aporta la fuerza en cada ciclo es igual a la que el amortiguador convierte en calor.

Bachillerato (Física): oscilaciones forzadas, amortiguamiento y resonancia. Primer curso de universidad: oscilador armónico forzado y amortiguado, factor Q, anchura de banda y respuesta en fase.

Haz las cuentas con Fórmulas de física y Calculadora gráfica.

Reto

Predice primero: con ω₀ = 4,0 rad/s, m = 1 kg y b = 0,8 kg/s, ¿a qué frecuencia de excitación es mayor la amplitud? ¿Cuántas veces mayor que el estiramiento estático F₀/k es allí? Escribe tu frecuencia y comprueba.

γ = b/m = 0,8 s⁻¹, así que ωᵣ = √(16 − 0,32) = 3,96 rad/s. Allí A = 1 / (0,8 × √(16 − 0,16)) = 0,314 m, mientras que F₀/k = 1/16 = 0,0625 m: unas 5 veces más, que es Q = ω₀/γ = 5.