Particule dans une boîte et effet tunnel
Enferme un électron dans une boîte minuscule : il ne peut prendre que certaines énergies. Envoie-le sur une barrière trop haute pour lui : une partie passe quand même.
Densité de probabilité |ψ|²
Mesures
Ce qui se passe
En mécanique quantique, une particule est décrite par une fonction d'onde ψ, et |ψ|² est la probabilité par unité de longueur de la trouver en un point. Dans un puits infini de largeur L, l'onde s'annule sur les deux parois, donc seul un nombre entier de demi-longueurs d'onde y tient : λ = 2L/n. Avec la relation de de Broglie p = h/λ, cela fixe l'énergie, Eₙ = n²h²/(8mL²) : les niveaux croissent comme 1, 4, 9, 16 et l'énergie la plus basse n'est pas nulle. L'état n a n − 1 nœuds dans la boîte. Un mélange de deux états n'est pas stationnaire : la probabilité oscille d'un bord à l'autre avec la période h/(E₂ − E₁). Face à une barrière de hauteur V₀ supérieure à l'énergie E, l'onde ne s'arrête pas net à la paroi mais décroît dans la barrière comme e−κx, avec κ = √(2m(V₀ − E))/ħ. Si la barrière est mince, il reste de l'onde de l'autre côté : c'est l'effet tunnel, et la transmission chute à peu près comme e−2κa avec la largeur a. Au-dessus de la barrière, la particule peut encore être réfléchie, sauf aux résonances où un nombre entier de demi-longueurs d'onde tient dans la barrière et T = 1.
Lycée (terminale) : dualité onde-particule et longueur d'onde de de Broglie. Licence (physique quantique) : puits infini, normalisation, superposition d'états et transmission par effet tunnel.
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Défi
Prédis d'abord : un électron est piégé dans une boîte de 1,0 nm. Quelle est son énergie fondamentale en eV ? Si la boîte est deux fois plus large, que devient cette énergie ? Utilise E = h²/(8mL²) et vérifie avec la mesure.
E₁ = (6,63 × 10⁻³⁴)² / (8 × 9,11 × 10⁻³¹ × (10⁻⁹)²) = 6,02 × 10⁻²⁰ J = 0,376 eV. En doublant L, l'énergie est divisée par 4 : 0,094 eV.
Questions fréquentes
- Quelle est la largeur d'une boîte dont l'état fondamental vaut 1 eV ?
- Réarrange E₁ = h²/(8mL²) en L = h/√(8mE₁). Pour un électron, L = 6,626 × 10⁻³⁴ / √(8 × 9,109 × 10⁻³¹ × 1,602 × 10⁻¹⁹) = 6,13 × 10⁻¹⁰ m, soit environ 0,613 nm. Choisis Largeur de la boîte L dans Calculer pour voir les étapes.
- Quelle est l'énergie d'une particule dans une boîte ?
- Pour un puits infini de largeur L, Eₙ = n²h²/(8mL²) avec n = 1, 2, 3, etc. Pour un électron dans une boîte de 1 nm, l'état fondamental vaut 0,376 eV et les niveaux croissent comme n² : n = 2 vaut 1,50 eV et n = 3 vaut 3,38 eV.
- Pourquoi l'énergie la plus basse n'est-elle pas nulle ?
- Une onde qui s'annule sur les deux parois doit contenir au moins une demi-longueur d'onde, donc sa longueur d'onde vaut au plus 2L et sa quantité de mouvement au moins h/(2L). Cette énergie cinétique résiduelle est l'énergie de point zéro, en accord avec le principe d'incertitude : confiner la particule impose une dispersion de la quantité de mouvement.
- Qu'est-ce que l'effet tunnel ?
- Une particule rencontre une barrière plus haute que son énergie. En physique classique elle rebondirait, mais la fonction d'onde décroît dans la barrière au lieu de s'arrêter au bord, donc si la barrière est mince une partie de l'onde atteint l'autre côté. La particule a alors une petite probabilité de s'y trouver. L'effet tunnel explique la radioactivité alpha, le microscope à effet tunnel et la mémoire flash.
- Comment la transmission dépend-elle de la largeur de la barrière ?
- Pour une barrière épaisse ou haute, T vaut environ 16(E/V₀)(1 − E/V₀) e−2κa : chaque 1/(2κ) de largeur en plus divise la transmission par e. Pour un électron 2 eV sous le sommet, κ vaut environ 7,2 par nm, et 0,1 nm de barrière en plus divise T par quatre environ.