Résonance : l'oscillateur forcé amorti

Ce qui se passe

Une masse au bout d'un ressort obéit à m x'' + b x' + k x = F₀ cos ωt : le ressort rappelle, l'amortisseur freine et une force excite le système à la pulsation ω. En partant du repos, le mouvement est la somme d'un régime transitoire, qui oscille à la pulsation propre et s'éteint comme e^−γt/2 avec γ = b/m, et d'un régime permanent qui suit l'excitation. En régime permanent, x = A cos(ωt − φ), avec A = (F₀/m)/√((ω₀² − ω²)² + (γω)²) et un retard de phase φ = tan⁻¹(γω/(ω₀² − ω²)). Bien en dessous de ω₀, la masse suit la force ; à ω₀ elle a un quart de période de retard et la force fournit le plus de travail ; bien au-dessus, elle bouge à l'opposé de la force avec une faible amplitude. L'amplitude est maximale un peu en dessous de ω₀, à ωᵣ = √(ω₀² − γ²/2). Le facteur de qualité Q = ω₀/γ mesure l'acuité de la résonance : la largeur du pic à mi-puissance vaut γ, et à la résonance l'amplitude vaut environ Q fois l'allongement statique F₀/k. En régime permanent, l'énergie fournie par l'excitation à chaque période égale celle que l'amortisseur dissipe.

Lycée (terminale, spécialité physique) : oscillations libres et forcées, amortissement, résonance. Licence : oscillateur harmonique forcé amorti, facteur de qualité, bande passante et déphasage.

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Défi

Prédis d'abord : avec ω₀ = 4,0 rad/s, m = 1 kg et b = 0,8 kg/s, à quelle pulsation d'excitation l'amplitude est-elle la plus grande ? Combien de fois l'allongement statique F₀/k vaut-elle alors ? Tape ta pulsation et vérifie.

γ = b/m = 0,8 s⁻¹, donc ωᵣ = √(16 − 0,32) = 3,96 rad/s. Là, A = 1 / (0,8 × √(16 − 0,16)) = 0,314 m, alors que F₀/k = 1/16 = 0,0625 m : environ 5 fois plus, soit Q = ω₀/γ = 5.