Diagrama de espacio-tiempo: relatividad especial
Pon el tiempo hacia arriba y el espacio a lo ancho, y la luz viaja a 45°. Un observador en movimiento corta el mismo diagrama de otra forma: sus ejes de tiempo y espacio se inclinan hacia la línea de la luz.
Factor de Lorentz γ frente a la velocidad β
Lecturas
Qué está pasando
En un diagrama de Minkowski cada suceso es un punto (x, ct), y algo que se mueve con velocidad v traza una línea de universo recta con pendiente c/v; la luz traza las rectas a 45° del cono de luz. Un observador que se mueve con β = v/c tiene sus propios ejes: el eje ct' es su línea de universo, y el eje x', su línea de 'ahora', se inclina hacia arriba el mismo ángulo. La transformación de Lorentz, ct' = γ(ct − βx) y x' = γ(x − βct) con γ = 1/√(1 − β²), pasa de unas coordenadas a otras.
Las marcas de unidad de los ejes inclinados no miden lo mismo que en los ejes rectos; las hipérbolas (ct)² − x² = constante las señalan, porque ese intervalo vale lo mismo en todos los sistemas. Sucesos simultáneos para un observador no lo son para el otro. Un reloj que viaja con S' marca una unidad por cada γ unidades de tiempo de S: es la dilatación del tiempo.
Una varilla en reposo en S' mide L₀/γ en S: es la contracción de longitudes. En la paradoja de los gemelos el viajero da la vuelta y cambia de sistema, así que las dos líneas de universo acumulan tiempos propios distintos y el viajero vuelve más joven.
- Factor de Lorentzγ = 1 / √(1 − β²)
- Transformación del tiempoct' = γ(ct − βx)
- Transformación del espaciox' = γ(x − βct)
- Intervalo espaciotemporals² = (ct)² − x²
- Suma de velocidadesu = (u' + v) / (1 + u'v/c²)
En el temario
- Bachillerato Físicarelatividad especial, dilatación del tiempo y contracción de longitudes
- Universidad primer cursodiagramas de Minkowski, transformación de Lorentz, intervalo invariante y paradoja de los gemelos
Reto
Predice primero: una nave sale de la Tierra a 0,8c y vuelve enseguida, y en la Tierra pasan 10 años. ¿Cuántos años pasan en la nave? Activa la paradoja de los gemelos en Avanzado con un viaje de 10 años a β = 0,8 y compruébalo.
γ = 1/√(1 − 0,64) = 1/0,6 = 1,667, así que los relojes de la nave marcan 10 / 1,667 = 6,0 años. El viajero vuelve 4 años más joven que su gemelo.
Apréndelo bien
Lecciones de GCSE Combined and Separate Science sobre este tema: pasos resueltos y después preguntas tipo examen con números nuevos cada vez. Las lecciones están en inglés.
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Preguntas frecuentes
¿A qué velocidad hay que ir para que γ = 2?
Despeja γ = 1/√(1 − β²): β = √(1 − 1/γ²). Para γ = 2, β = √(1 − 1/4) = √0,75 = 0,866, así que v = 0,866c = 2,60 × 10⁸ m/s. A esa velocidad un reloj en movimiento va a la mitad de ritmo. Elige β desde γ en Calcular para ver los pasos.
¿Cuánto vale γ a 0,6c, 0,8c y 0,99c?
γ = 1/√(1 − β²) da 1,25 a 0,6c, 1,667 a 0,8c y 7,09 a 0,99c. Un reloj en movimiento atrasa en ese factor y una varilla en movimiento se acorta en ese factor.
¿Por qué se inclinan los ejes del sistema en movimiento?
El eje ct' es la línea de universo del observador móvil, x = βct, así que se inclina hacia la línea de la luz. Su eje x' es el conjunto de sucesos que considera simultáneos con el origen, ct = βx, que se inclina hacia el otro lado el mismo ángulo. Cuando β se acerca a 1, los dos ejes se cierran sobre la línea de 45°.
¿Qué es el intervalo de espacio-tiempo?
s² = (ct)² − x² entre dos sucesos. Todos los observadores inerciales obtienen el mismo valor, aunque no coincidan en el tiempo ni en la distancia por separado. Si s² es positivo, los sucesos pueden estar conectados causalmente y √s² es el tiempo propio que marcaría un reloj que viajara de uno a otro.
¿Quién es realmente más joven en la paradoja de los gemelos?
El gemelo viajero. La situación no es simétrica: el viajero cambia de sistema al dar la vuelta, mientras que el que se queda permanece en un solo sistema inercial. A 0,8c y con 10 años terrestres, el viajero envejece 6 años.