Diagramme d'espace-temps : relativité restreinte
Mets le temps vers le haut et l'espace en largeur : la lumière va à 45°. Un observateur en mouvement découpe le même diagramme autrement : ses axes de temps et d'espace s'inclinent vers la ligne de la lumière.
Facteur de Lorentz γ en fonction de la vitesse β
Mesures
Ce qui se passe
Sur un diagramme de Minkowski, chaque événement est un point (x, ct), et un objet de vitesse v trace une ligne d'univers droite de pente c/v ; la lumière trace les droites à 45° du cône de lumière. Un observateur qui se déplace à β = v/c a ses propres axes : l'axe ct' est sa ligne d'univers, et l'axe x', sa ligne du « maintenant », s'incline vers le haut du même angle. La transformation de Lorentz, ct' = γ(ct − βx) et x' = γ(x − βct) avec γ = 1/√(1 − β²), fait passer d'un système de coordonnées à l'autre.
Les graduations des axes inclinés n'ont pas la même longueur que sur les axes droits ; les hyperboles (ct)² − x² = constante les repèrent, car cet intervalle est le même dans tous les référentiels. Deux événements simultanés pour un observateur ne le sont pas pour l'autre. Une horloge liée à S' avance d'une unité pour γ unités de temps de S : c'est la dilatation des durées.
Une règle au repos dans S' mesure L₀/γ dans S : c'est la contraction des longueurs. Dans le paradoxe des jumeaux, le voyageur fait demi-tour et change de référentiel, donc les deux lignes d'univers n'accumulent pas le même temps propre et le voyageur revient plus jeune.
- Facteur de Lorentzγ = 1 / √(1 − β²)
- Transformation du tempsct' = γ(ct − βx)
- Transformation de l'espacex' = γ(x − βct)
- Intervalle d'espace-tempss² = (ct)² − x²
- Composition des vitessesu = (u' + v) / (1 + u'v/c²)
Au programme
- Lycée terminale, spécialité physique-chimierelativité restreinte, dilatation des durées et temps propre
- Licence première annéediagrammes de Minkowski, transformation de Lorentz, intervalle invariant et paradoxe des jumeaux
Défi
Prédis d'abord : un vaisseau quitte la Terre à 0,8c et revient aussitôt, pendant que 10 ans passent sur Terre. Combien d'années passent à bord ? Active le paradoxe des jumeaux dans Avancé avec un voyage de 10 ans à β = 0,8 et vérifie.
γ = 1/√(1 − 0,64) = 1/0,6 = 1,667, donc les horloges du vaisseau indiquent 10 / 1,667 = 6,0 ans. Le voyageur revient 4 ans plus jeune que son jumeau.
Apprends-le pour de bon
Des leçons de GCSE Combined and Separate Science sur ce sujet : des étapes détaillées, puis des questions type examen avec de nouveaux nombres à chaque fois. Les leçons sont en anglais.
Voir tout le coursLe cours complet, les tests par thème et les examens blancs sont inclus dans Plus. Voir Plus
Questions fréquentes
À quelle vitesse faut-il aller pour que γ = 2 ?
Réarrange γ = 1/√(1 − β²) en β = √(1 − 1/γ²). Pour γ = 2, β = √(1 − 1/4) = √0,75 = 0,866, donc v = 0,866c = 2,60 × 10⁸ m/s. À cette vitesse, une horloge en mouvement tourne deux fois moins vite. Choisis β depuis γ dans Calculer pour voir les étapes.
Combien vaut γ à 0,6c, 0,8c et 0,99c ?
γ = 1/√(1 − β²) donne 1,25 à 0,6c, 1,667 à 0,8c et 7,09 à 0,99c. Une horloge en mouvement retarde de ce facteur et une règle en mouvement est raccourcie d'autant.
Pourquoi les axes du référentiel mobile sont-ils inclinés ?
L'axe ct' est la ligne d'univers de l'observateur mobile, x = βct, donc il penche vers la ligne de la lumière. Son axe x' est l'ensemble des événements qu'il juge simultanés avec l'origine, ct = βx, qui penche de l'autre côté du même angle. Quand β tend vers 1, les deux axes se referment sur la ligne à 45°.
Qu'est-ce que l'intervalle d'espace-temps ?
s² = (ct)² − x² entre deux événements. Tous les observateurs inertiels trouvent la même valeur, même s'ils ne sont d'accord ni sur la durée ni sur la distance prises séparément. Si s² est positif, les événements peuvent être reliés causalement et √s² est le temps propre que mesurerait une horloge allant de l'un à l'autre.
Qui est vraiment le plus jeune dans le paradoxe des jumeaux ?
Le jumeau voyageur. La situation n'est pas symétrique : le voyageur change de référentiel au demi-tour, tandis que l'autre reste dans un seul référentiel inertiel. À 0,8c pendant 10 années terrestres, le voyageur vieillit de 6 ans.