Resonancia: el oscilador forzado y amortiguado
Impulsa un muelle amortiguado a distintas frecuencias. Cerca de su frecuencia natural la respuesta crece mucho, y el amortiguamiento decide la altura y la anchura del pico.
Desplazamiento y fuerza impulsora frente al tiempo
Lecturas
Qué está pasando
Una masa en un muelle cumple m x'' + b x' + k x = F₀ cos ωt: el muelle tira hacia atrás, el amortiguador frena el movimiento y una fuerza lo impulsa con frecuencia angular ω. Partiendo del reposo, el movimiento es la suma de un transitorio, que oscila a la frecuencia propia y se apaga como e−γt/2 con γ = b/m, y de un estado estacionario que sigue a la fuerza. El estacionario es x = A cos(ωt − φ) con amplitud A = (F₀/m)/√((ω₀² − ω²)² + (γω)²) y desfase φ = tg⁻¹(γω/(ω₀² − ω²)). Muy por debajo de ω₀ la masa sigue a la fuerza; en ω₀ va un cuarto de ciclo por detrás y la fuerza hace el máximo trabajo; muy por encima se mueve al revés que la fuerza y con poca amplitud. La amplitud es máxima un poco por debajo de ω₀, en ωᵣ = √(ω₀² − γ²/2). El factor de calidad Q = ω₀/γ mide lo agudo de la resonancia: la anchura del pico a media potencia es γ, y en resonancia la amplitud es unas Q veces el estiramiento estático F₀/k. En el estado estacionario la energía que aporta la fuerza en cada ciclo es igual a la que el amortiguador convierte en calor.
Bachillerato (Física): oscilaciones forzadas, amortiguamiento y resonancia. Primer curso de universidad: oscilador armónico forzado y amortiguado, factor Q, anchura de banda y respuesta en fase.
Haz las cuentas con Fórmulas de física y Calculadora gráfica.
Reto
Predice primero: con ω₀ = 4,0 rad/s, m = 1 kg y b = 0,8 kg/s, ¿a qué frecuencia de excitación es mayor la amplitud? ¿Cuántas veces mayor que el estiramiento estático F₀/k es allí? Escribe tu frecuencia y comprueba.
γ = b/m = 0,8 s⁻¹, así que ωᵣ = √(16 − 0,32) = 3,96 rad/s. Allí A = 1 / (0,8 × √(16 − 0,16)) = 0,314 m, mientras que F₀/k = 1/16 = 0,0625 m: unas 5 veces más, que es Q = ω₀/γ = 5.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo calculo la frecuencia de resonancia de un oscilador amortiguado?
- Calcula γ = b/m y luego ωᵣ = √(ω₀² − γ²/2). Una masa de 1 kg con ω₀ = 4 rad/s y b = 0,8 kg/s tiene γ = 0,8 s⁻¹, así que ωᵣ = √(16 − 0,32) = 3,96 rad/s y Q = ω₀/γ = 5. Si γ² ≥ 2ω₀² no hay pico. Elige Frecuencia de resonancia en Calcular para ver cada paso.
- ¿Por qué la frecuencia de resonancia es menor que la natural?
- El amortiguamiento desplaza el pico de la amplitud a ωᵣ = √(ω₀² − γ²/2). Con poco amortiguamiento el cambio es mínimo; con mucho (γ² > 2ω₀²) no hay pico y la amplitud solo baja al subir la frecuencia.
- ¿Qué es el factor Q?
- Q = ω₀/γ, la frecuencia natural dividida por la tasa de amortiguamiento. Un Q alto significa un pico alto y estrecho y un oscilador que suena unos Q/π ciclos antes de apagarse. Un diapasón tiene un Q de unos 1000; la suspensión de un coche, alrededor de 1.
- ¿Por qué el desfase va de 0 a 180°?
- A baja frecuencia domina el muelle y la masa se mueve con la fuerza. En ω₀ el muelle y la inercia se compensan y solo frena el amortiguador: la velocidad va en fase con la fuerza y el desplazamiento se retrasa 90°. A alta frecuencia domina la inercia y la masa va al revés que la fuerza.
- ¿Qué son los transitorios?
- Al empezar la excitación, el movimiento incluye una parte a la frecuencia propia que decae como e−γt/2. Pasados unos cuantos 2/γ solo queda el estado estacionario a la frecuencia de la fuerza. Por eso la amplitud medida acaba sobre la curva analítica.