¿Cómo se deriva x² por definición?

Escribe la pendiente de la secante: ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h. Ahora haz que h tienda a 0: la pendiente tiende a 2x, así que f'(x) = 2x. La h solo desaparece en el límite, nunca poniendo h = 0 en la fracción, que daría 0/0.

¿Por qué no se puede poner h = 0 sin más?

La secante necesita dos puntos distintos. Con h = 0 la fracción es 0/0, que no tiene valor. La derivada es el valor al que se acerca la pendiente de la secante cuando h encoge: un límite.

¿Por qué la diferencia centrada es más precisa?

Al desarrollar f(x ± h) en serie de Taylor, los términos en h² se anulan en f(x + h) − f(x − h), así que el error es de unos f'''(x)h²/6 en lugar de f''(x)h/2. Al dividir h entre 2, el error hacia delante baja a la mitad y el centrado a la cuarta parte. En la gráfica log-log las rectas tienen pendientes 1 y 2.

¿Por qué el error vuelve a subir con h muy pequeño?

Un ordenador guarda unas 16 cifras significativas. Si h es diminuto, f(x + h) y f(x) coinciden en casi todas las cifras, la resta pierde casi toda la precisión y al dividir por h ese error de redondeo, de unos 10⁻¹⁶/h, crece. El mejor h hacia delante ronda 10⁻⁸. Esta simulación se para en h = 10⁻⁶ para que las lecturas sigan teniendo sentido, y la gráfica del error ya muestra el suelo.

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Derivada por definición

La pendiente de una curva en un punto es el límite de las pendientes de las secantes. Acerca el segundo punto Q a P y la secante se convierte en la tangente.

Pendiente de la secante y f'(x)

Lecturas

Qué está pasando

Una curva no tiene una sola pendiente, así que la medimos en un punto P = (x, f(x)). Toma un segundo punto Q un paso horizontal h más allá. La secante PQ tiene pendiente (f(x + h) − f(x))/h, que siempre se puede calcular. Cuando h se acerca a 0, Q se desliza por la curva hacia P y la pendiente de la secante se estabiliza en un valor: la derivada f'(x), la pendiente de la tangente en P. Para f(x) = x² la pendiente de la secante es exactamente 2x + h, así que el límite es 2x. La gráfica dibuja la pendiente de la secante para cada x con el h actual frente a la verdadera f'(x): se juntan cuando h tiende a 0. En Avanzado, la diferencia centrada (f(x + h) − f(x − h))/(2h) usa un punto a cada lado y su error baja como h² en vez de h. Un ordenador no puede llevar h hasta 0: por debajo de unos 10⁻⁸ mandan los errores de redondeo, y la gráfica del error lo muestra.

f'(x) = lim (f(x + h) − f(x)) / h cuando h → 0error hacia delante ≈ ½ f''(x) hcentrada: (f(x + h) − f(x − h)) / 2h, error ≈ ⅙ f'''(x) h²

Bachillerato (Matemáticas I y II): tasa de variación media, derivada como límite, recta tangente. Primer curso de universidad: diferencias finitas y error de redondeo.

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Reto

Predice primero: para f(x) = x³ en x = 2, ¿cuál es la pendiente de la secante con h = 1 y a qué valor tiende al encoger h? Elige x³, pon x = 2, escribe tu valor de f'(2) en la casilla y pulsa Encoger h.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se deriva x² por definición?: Escribe la pendiente de la secante: ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h. Ahora haz que h tienda a 0: la pendiente tiende a 2x, así que f'(x) = 2x. La h solo desaparece en el límite, nunca poniendo h = 0 en la fracción, que daría 0/0.
¿Por qué no se puede poner h = 0 sin más?: La secante necesita dos puntos distintos. Con h = 0 la fracción es 0/0, que no tiene valor. La derivada es el valor al que se acerca la pendiente de la secante cuando h encoge: un límite.
¿Por qué la diferencia centrada es más precisa?: Al desarrollar f(x ± h) en serie de Taylor, los términos en h² se anulan en f(x + h) − f(x − h), así que el error es de unos f'''(x)h²/6 en lugar de f''(x)h/2. Al dividir h entre 2, el error hacia delante baja a la mitad y el centrado a la cuarta parte. En la gráfica log-log las rectas tienen pendientes 1 y 2.
¿Por qué el error vuelve a subir con h muy pequeño?: Un ordenador guarda unas 16 cifras significativas. Si h es diminuto, f(x + h) y f(x) coinciden en casi todas las cifras, la resta pierde casi toda la precisión y al dividir por h ese error de redondeo, de unos 10⁻¹⁶/h, crece. El mejor h hacia delante ronda 10⁻⁸. Esta simulación se para en h = 10⁻⁶ para que las lecturas sigan teniendo sentido, y la gráfica del error ya muestra el suelo.