¿Cómo se calculan los coeficientes de Fourier?

Con periodo 2π, aₙ = (1/π)∫ f(t) cos nt dt y bₙ = (1/π)∫ f(t) sen nt dt sobre un periodo, y a₀/2 es el valor medio de f. Para la onda cuadrada (−1 y luego 1) sale bₙ = 4/(nπ) para n impar y 0 en todos los demás coeficientes.

¿Por qué una función impar solo tiene senos?

Si f(−t) = −f(t), entonces f(t) cos nt también es impar, y una función impar integra 0 en un periodo simétrico, así que todos los aₙ valen 0. Del mismo modo, en una función par todos los bₙ valen 0.

¿Qué es el fenómeno de Gibbs?

Junto a un salto, la suma parcial de Fourier se pasa de la onda en torno a un 8,95 % del salto, y añadir términos no lo elimina: el pico solo se estrecha y se acerca al salto. El límite exacto del pico es (2/π)Si(π) ≈ 1,179 para un salto de −1 a 1.

¿Qué dice el teorema de Parseval?

La media de f² es igual a (a₀/2)² + ½Σ(aₙ² + bₙ²). Así, la energía que deja fuera una suma parcial, y con ella el error cuadrático medio, sale directamente de los coeficientes que faltan.

← Todas las simulaciones

Series de Fourier

Cualquier onda periódica se puede construir sumando senos y cosenos de frecuencias múltiplo de una dada. Añade armónicos y mira cómo la suma se acerca a la onda, en todas partes salvo junto a un salto.

Espectro: amplitud de cada armónico

Lecturas

Qué está pasando

Una onda de periodo 2π se puede escribir como una constante más armónicos: f(t) ≈ a₀/2 + Σ (aₙ cos nt + bₙ sen nt). Cada coeficiente mide cuánto de ese armónico contiene la onda, y se obtiene multiplicando por cos nt o sen nt y promediando en un periodo, porque armónicos distintos se anulan en promedio entre sí. La simetría ahorra trabajo: una onda impar solo necesita senos, una par solo cosenos, y una con f(t + π) = −f(t) solo armónicos impares. Las ondas suaves tienen coeficientes que bajan rápido (1/n² en la triangular) y la suma encaja enseguida; las que tienen un salto bajan como 1/n y la suma oscila. Justo al lado de un salto la suma parcial siempre se pasa un 8,95 % del salto, por muchos términos que tomes: es el fenómeno de Gibbs. El pico se estrecha, así que el error cuadrático medio sí tiende a 0, y el teorema de Parseval da ese error directamente a partir de los coeficientes. Pulsa Iniciar para ver cada armónico como una flecha que gira: las flechas se encadenan y la altura de la última punta dibuja la suma.

f(t) ≈ a₀/2 + Σ (aₙ cos nt + bₙ sen nt)aₙ = (1/π)∫ f(t) cos nt dt, bₙ = (1/π)∫ f(t) sen nt dtcuadrada: (4/π)(sen t + sen 3t/3 + sen 5t/5 + ...)error eficaz² = media de f² − (a₀/2)² − ½Σ(aₙ² + bₙ²)

Primer curso de universidad (matemáticas, física e ingeniería): series de Fourier, funciones pares e impares, convergencia, fenómeno de Gibbs y teorema de Parseval.

Haz las cuentas con Calculadora gráfica.

Reto

Predice primero: al crecer N, ¿el sobrepico de la onda cuadrada junto al salto tiende a 0? Estima su tamaño con N = 99 como porcentaje del salto, escríbelo y luego activa el zoom en Avanzado y sube N.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calculan los coeficientes de Fourier?: Con periodo 2π, aₙ = (1/π)∫ f(t) cos nt dt y bₙ = (1/π)∫ f(t) sen nt dt sobre un periodo, y a₀/2 es el valor medio de f. Para la onda cuadrada (−1 y luego 1) sale bₙ = 4/(nπ) para n impar y 0 en todos los demás coeficientes.
¿Por qué una función impar solo tiene senos?: Si f(−t) = −f(t), entonces f(t) cos nt también es impar, y una función impar integra 0 en un periodo simétrico, así que todos los aₙ valen 0. Del mismo modo, en una función par todos los bₙ valen 0.
¿Qué es el fenómeno de Gibbs?: Junto a un salto, la suma parcial de Fourier se pasa de la onda en torno a un 8,95 % del salto, y añadir términos no lo elimina: el pico solo se estrecha y se acerca al salto. El límite exacto del pico es (2/π)Si(π) ≈ 1,179 para un salto de −1 a 1.
¿Qué dice el teorema de Parseval?: La media de f² es igual a (a₀/2)² + ½Σ(aₙ² + bₙ²). Así, la energía que deja fuera una suma parcial, y con ella el error cuadrático medio, sale directamente de los coeficientes que faltan.