Comment appliquer la méthode des trapèzes ?

Prends n bandes de largeur h = (b − a)/n, calcule les hauteurs y₀ à yₙ aux bords, puis aire ≈ ½h [y₀ + yₙ + 2(y₁ + y₂ + … + yₙ₋₁)]. Pour ∫ x² dx de 0 à 1 avec n = 4 : h = 0,25, les hauteurs sont 0 ; 0,0625 ; 0,25 ; 0,5625 ; 1, et l'estimation vaut 0,34375 contre 1/3 exactement.

La méthode des trapèzes surestime-t-elle ou sous-estime-t-elle ?

Si la courbe est convexe (f'' > 0), chaque segment est au-dessus de la courbe : elle surestime. Si elle est concave (f'' < 0), elle sous-estime. La méthode du point milieu fait l'inverse, avec environ moitié moins d'erreur.

Pourquoi l'aire sous l'axe est-elle négative ?

L'intégrale additionne f(x) fois la largeur des bandes, et f(x) y est négatif. Pour l'aire réelle entre la courbe et l'axe, intègre chaque partie séparément et additionne leurs valeurs absolues. Les mesures d'Avancé donnent les deux parties.

Pourquoi Simpson est-elle tellement plus précise ?

Elle fait passer une parabole par chaque groupe de trois points, elle est donc exacte pour tout polynôme de degré au plus 3, et son erreur vaut environ h⁴(b − a)f''''/180. Diviser h par 2 divise l'erreur par 16. Il faut un nombre pair de bandes, car chaque parabole en couvre deux.

Quelle borne b donne une aire de 9 sous y = x² entre 0 et b ?

L'intégrale de x² entre 0 et b vaut b³/3, donc b³/3 = 9, b³ = 27 et b = 3. Dans Calculer, choisis b pour une aire, mets a = 0 et la cible 9. Pour des courbes comme x³ ou sin x, toutes les valeurs de b possibles s'affichent.

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L'intégrale comme aire sous la courbe

Une intégrale est l'aire algébrique entre la courbe et l'axe des abscisses. Remplis-la de bandes, additionne-les et regarde le total se rapprocher de la valeur exacte quand les bandes s'affinent.

Juste le résultat ? Calculatrice graphique

Erreur selon n (échelles logarithmiques)

Mesures

Ce qui se passe

Découpe l'intervalle de a à b en n bandes de largeur h = (b − a)/n. Un rectangle sur chaque bande, de hauteur prise au bord gauche, au bord droit ou au milieu, donne une somme de Riemann. Relier les hauteurs par des segments donne la méthode des trapèzes, et faire passer une parabole par chaque paire de bandes donne la méthode de Simpson. Quand n grandit, toutes ces sommes tendent vers la même limite : l'intégrale ∫ f(x) dx de a à b, qu'on obtient aussi exactement avec une primitive F, comme F(b) − F(a). L'aire sous l'axe compte négativement, d'où la couleur rose. La vitesse à laquelle l'erreur diminue dépend de la méthode : doubler n divise par 2 l'erreur des rectangles à gauche et à droite, par 4 celle du point milieu et des trapèzes, et par 16 celle de Simpson. En échelle logarithmique, ce sont des droites de pente −1, −2 et −4.

∫ f(x) dx de a à b = F(b) − F(a)trapèzes : ½h [y₀ + 2(y₁ + … + yₙ₋₁) + yₙ]Simpson : ⅓h [y₀ + 4y₁ + 2y₂ + … + 4yₙ₋₁ + yₙ]

Lycée (spécialité maths, terminale) : intégrale et aire, primitives, méthode des rectangles. Licence première année : analyse numérique, trapèzes, Simpson et ordre de l'erreur.

Fais les calculs avec Calculatrice scientifique.

Défi

Prédis d'abord : avec la méthode des trapèzes sur ∫ x² dx de 0 à 2, par combien l'erreur est-elle divisée quand n passe de 4 à 8 ? Et avec Simpson ? Tape ton facteur dans la case, puis appuie sur Doubler n.

Questions fréquentes

Comment appliquer la méthode des trapèzes ?: Prends n bandes de largeur h = (b − a)/n, calcule les hauteurs y₀ à yₙ aux bords, puis aire ≈ ½h [y₀ + yₙ + 2(y₁ + y₂ + … + yₙ₋₁)]. Pour ∫ x² dx de 0 à 1 avec n = 4 : h = 0,25, les hauteurs sont 0 ; 0,0625 ; 0,25 ; 0,5625 ; 1, et l'estimation vaut 0,34375 contre 1/3 exactement.
La méthode des trapèzes surestime-t-elle ou sous-estime-t-elle ?: Si la courbe est convexe (f'' > 0), chaque segment est au-dessus de la courbe : elle surestime. Si elle est concave (f'' < 0), elle sous-estime. La méthode du point milieu fait l'inverse, avec environ moitié moins d'erreur.
Pourquoi l'aire sous l'axe est-elle négative ?: L'intégrale additionne f(x) fois la largeur des bandes, et f(x) y est négatif. Pour l'aire réelle entre la courbe et l'axe, intègre chaque partie séparément et additionne leurs valeurs absolues. Les mesures d'Avancé donnent les deux parties.
Pourquoi Simpson est-elle tellement plus précise ?: Elle fait passer une parabole par chaque groupe de trois points, elle est donc exacte pour tout polynôme de degré au plus 3, et son erreur vaut environ h⁴(b − a)f''''/180. Diviser h par 2 divise l'erreur par 16. Il faut un nombre pair de bandes, car chaque parabole en couvre deux.
Quelle borne b donne une aire de 9 sous y = x² entre 0 et b ?: L'intégrale de x² entre 0 et b vaut b³/3, donc b³/3 = 9, b³ = 27 et b = 3. Dans Calculer, choisis b pour une aire, mets a = 0 et la cible 9. Pour des courbes comme x³ ou sin x, toutes les valeurs de b possibles s'affichent.