Quelle différence entre fréquence et probabilité ?

La probabilité est ce qui devrait se passer à long terme, calculée à partir des issues : 1/6 pour un 6 avec un dé équilibré. La fréquence est ce qui s'est passé : effectif divisé par le nombre d'essais. Plus il y a d'essais, plus elle s'approche de la probabilité, d'où son usage pour estimer des probabilités incalculables, comme une punaise qui tombe pointe en l'air.

Si je lance un dé 60 fois, pourquoi pas exactement dix 6 ?

Dix est l'effectif attendu, la moyenne à long terme, pas une promesse. Le nombre de 6 en 60 lancers a un écart type de √(60 × 1/6 × 5/6) ≈ 2,9, donc de 4 à 16 environ, c'est normal. La fréquence continue de se stabiliser si on poursuit les lancers.

Comment faire un arbre pour un tirage sans remise ?

Sur les premières branches, écris la probabilité de chaque couleur. Pour le second tirage, enlève d'abord un jeton de cette couleur : avec 3 rouges et 2 bleus, après un rouge il reste 2 rouges et 2 bleus, donc P(rouge puis rouge) = 3/5 × 2/4 = 3/10. On multiplie le long d'un chemin pour 'et', on additionne des chemins différents pour 'ou'.

Pourquoi la somme 7 sort-elle le plus souvent avec deux dés ?

Il y a 36 couples équiprobables. Six donnent 7 (1 et 6, 2 et 5, 3 et 4, et chacun dans l'autre sens), plus que toute autre somme. Un seul couple donne 2 ou 12, d'où leur rareté.

Un sac contient 3 jetons rouges et 2 bleus. On en tire deux sans remise. Que vaut P(au moins un rouge) ?

P(deux bleus) = 2/5 × 1/4 = 1/10, donc P(au moins un rouge) = 1 − 1/10 = 9/10. P(deux rouges) = 3/5 × 2/4 = 3/10 et P(exactement un rouge) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 3/5. Dans Calculer, Deux tirages sans remise donne les trois en fractions exactes.

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Expériences aléatoires

Une probabilité décrit ce qui se passe à long terme. Fais des milliers d'essais et regarde la fréquence se rapprocher de la probabilité théorique, sans jamais tomber pile dessus.

Juste le résultat ? Calculatrice de statistiques

Fréquence au fil des essais

Mesures

Ce qui se passe

Quand toutes les issues sont équiprobables, la probabilité d'un événement est le nombre d'issues favorables divisé par le nombre total d'issues : obtenir 6 avec un dé équilibré a une probabilité de 1/6. Deux dés donnent 36 couples équiprobables, et six d'entre eux font une somme de 7, donc P(7) = 6/36 = 1/6, alors que P(2) ne vaut que 1/36. Une expérience donne plutôt une fréquence : le nombre d'apparitions divisé par le nombre d'essais. Avec peu d'essais elle saute dans tous les sens. Avec beaucoup, elle se stabilise près de la probabilité, c'est la loi des grands nombres, et l'effectif attendu après n essais vaut n × P. La stabilisation est lente : l'écart typique diminue comme 1/√n, donc 100 fois plus d'essais ne le rendent que 10 fois plus petit. Pour deux épreuves successives, un arbre pondéré multiplie le long des branches. Si on tire deux jetons d'un sac sans remettre le premier, les probabilités du second changent, car le sac a changé.

P(A) = issues favorables / issues possiblesfréquence = effectif / nombre d'essaiseffectif attendu = n × P(A)P(A et B) = P(A) × P(B sachant A)

Collège (cycle 4) : probabilités, fréquences et équiprobabilité. Lycée (seconde et première) : arbres pondérés, tirages avec et sans remise, loi des grands nombres et fluctuation d'échantillonnage.

Fais les calculs avec Fractions et pourcentages.

Défi

Prédis d'abord : avec deux dés, quelle somme est la plus probable, et combien de 7 attends-tu en 600 lancers ? Tape ton nombre dans la case, vérifie, puis appuie sur Démarrer pour voir à quel point un vrai essai s'en approche.

Questions fréquentes

Quelle différence entre fréquence et probabilité ?: La probabilité est ce qui devrait se passer à long terme, calculée à partir des issues : 1/6 pour un 6 avec un dé équilibré. La fréquence est ce qui s'est passé : effectif divisé par le nombre d'essais. Plus il y a d'essais, plus elle s'approche de la probabilité, d'où son usage pour estimer des probabilités incalculables, comme une punaise qui tombe pointe en l'air.
Si je lance un dé 60 fois, pourquoi pas exactement dix 6 ?: Dix est l'effectif attendu, la moyenne à long terme, pas une promesse. Le nombre de 6 en 60 lancers a un écart type de √(60 × 1/6 × 5/6) ≈ 2,9, donc de 4 à 16 environ, c'est normal. La fréquence continue de se stabiliser si on poursuit les lancers.
Comment faire un arbre pour un tirage sans remise ?: Sur les premières branches, écris la probabilité de chaque couleur. Pour le second tirage, enlève d'abord un jeton de cette couleur : avec 3 rouges et 2 bleus, après un rouge il reste 2 rouges et 2 bleus, donc P(rouge puis rouge) = 3/5 × 2/4 = 3/10. On multiplie le long d'un chemin pour 'et', on additionne des chemins différents pour 'ou'.
Pourquoi la somme 7 sort-elle le plus souvent avec deux dés ?: Il y a 36 couples équiprobables. Six donnent 7 (1 et 6, 2 et 5, 3 et 4, et chacun dans l'autre sens), plus que toute autre somme. Un seul couple donne 2 ou 12, d'où leur rareté.
Un sac contient 3 jetons rouges et 2 bleus. On en tire deux sans remise. Que vaut P(au moins un rouge) ?: P(deux bleus) = 2/5 × 1/4 = 1/10, donc P(au moins un rouge) = 1 − 1/10 = 9/10. P(deux rouges) = 3/5 × 2/4 = 3/10 et P(exactement un rouge) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 3/5. Dans Calculer, Deux tirages sans remise donne les trois en fractions exactes.