Comment trouver le demi-grand axe à partir de la période ?

Utilise la troisième loi de Kepler en UA, années et masses solaires, où elle devient a³ = M T². Mars met 1,881 an à faire le tour du Soleil (M = 1), donc a³ = 1,881² = 3,538 et a = 1,524 UA, soit 2,28 × 10¹¹ m. Choisis a à partir de la période dans Calculer pour voir chaque étape.

Que dit la troisième loi de Kepler ?

Le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du demi-grand axe : T² = 4π²a³/GM. En années et en unités astronomiques autour du Soleil, cela devient T² = a³ : Jupiter, à 5,2 UA, met 11,9 ans.

Pourquoi une planète va-t-elle plus vite près du Soleil ?

Le moment cinétique se conserve car la force est dirigée vers le Soleil, donc r × v reste constant et un r plus petit impose un v plus grand. C'est la loi des aires, la deuxième loi de Kepler.

Quelle différence entre vitesse orbitale et vitesse de libération ?

La vitesse sur une orbite circulaire vaut √(GM/r). La vitesse de libération vaut √(2GM/r), exactement √2 fois plus. À cette vitesse l'énergie totale est nulle et l'objet peut s'éloigner à l'infini. Sur l'orbite terrestre : 29,8 km/s et 42,1 km/s.

La masse de la planète change-t-elle son orbite ?

Presque pas, tant que la planète est bien plus légère que l'étoile. Sa masse se simplifie dans l'accélération GM/r² : un caillou et une planète lancés de la même façon suivent la même trajectoire.

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Orbites et lois de Kepler

Donne à une planète une poussée latérale et la gravitation courbe sa trajectoire en ellipse. Sa vitesse, sa distance et la masse de l'étoile fixent la forme et la durée de l'année.

Énergie par kilogramme en fonction du temps

Mesures

Ce qui se passe

La gravitation attire la planète vers l'étoile avec une force GMm/r². Lancée de côté à la bonne vitesse, √(GM/r), elle tombe en tournant sur un cercle ; un peu plus vite ou plus lentement et la trajectoire devient une ellipse dont l'étoile occupe un foyer. Kepler a trouvé trois lois dans le mouvement des planètes. Les orbites sont des ellipses (première loi). Le segment étoile planète balaie des aires égales en des durées égales, donc la planète accélère près de l'étoile et ralentit loin d'elle (deuxième loi, qui traduit la conservation du moment cinétique). Et le carré de la période est proportionnel au cube du demi-grand axe, T = 2π√(a³/GM) (troisième loi). L'énergie mécanique, cinétique plus potentielle de gravitation, reste constante ; si elle atteint zéro, la planète a la vitesse de libération, √2 fois la vitesse circulaire, et ne revient jamais. La simulation travaille en unités astronomiques, années et masses solaires, avec un intégrateur symplectique qui garde l'énergie stable sur de nombreuses orbites.

F = GMm / r²v_circ = √(GM / r)T = 2π √(a³ / GM)v_lib = √(2GM / r)E = ½v² − GM/r = −GM / 2a

Terminale (spécialité physique-chimie) : mouvement des planètes et des satellites, lois de Kepler, troisième loi. Licence : forces centrales, problème de Kepler et vitesse de libération.

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Défi

Prédis d'abord : Mars tourne autour du Soleil avec un demi-grand axe de 1,524 UA. Combien dure une année martienne, en années terrestres ? Choisis Mars, tape ta réponse, vérifie, puis lance et lis la période mesurée.

Questions fréquentes

Comment trouver le demi-grand axe à partir de la période ?: Utilise la troisième loi de Kepler en UA, années et masses solaires, où elle devient a³ = M T². Mars met 1,881 an à faire le tour du Soleil (M = 1), donc a³ = 1,881² = 3,538 et a = 1,524 UA, soit 2,28 × 10¹¹ m. Choisis a à partir de la période dans Calculer pour voir chaque étape.
Que dit la troisième loi de Kepler ?: Le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du demi-grand axe : T² = 4π²a³/GM. En années et en unités astronomiques autour du Soleil, cela devient T² = a³ : Jupiter, à 5,2 UA, met 11,9 ans.
Pourquoi une planète va-t-elle plus vite près du Soleil ?: Le moment cinétique se conserve car la force est dirigée vers le Soleil, donc r × v reste constant et un r plus petit impose un v plus grand. C'est la loi des aires, la deuxième loi de Kepler.
Quelle différence entre vitesse orbitale et vitesse de libération ?: La vitesse sur une orbite circulaire vaut √(GM/r). La vitesse de libération vaut √(2GM/r), exactement √2 fois plus. À cette vitesse l'énergie totale est nulle et l'objet peut s'éloigner à l'infini. Sur l'orbite terrestre : 29,8 km/s et 42,1 km/s.
La masse de la planète change-t-elle son orbite ?: Presque pas, tant que la planète est bien plus légère que l'étoile. Sa masse se simplifie dans l'accélération GM/r² : un caillou et une planète lancés de la même façon suivent la même trajectoire.