Quel lien entre angle inscrit et angle au centre ?

L'angle au centre est le double de tout angle inscrit qui intercepte le même arc. Si l'angle au centre mesure 120°, l'angle inscrit mesure 60°.

Pourquoi un triangle inscrit dans un demi-cercle est-il rectangle ?

Son angle intercepte un diamètre, dont l'angle au centre mesure 180°, et l'angle inscrit en vaut la moitié : 90°.

Que vaut la somme des angles opposés d'un quadrilatère inscrit ?

180°. Chacun vaut la moitié de l'angle au centre de son arc, et les deux arcs forment le cercle entier, 360°.

Qu'est-ce que le théorème de l'angle tangentiel ?

L'angle entre une tangente et une corde issue du point de contact est égal à tout angle inscrit qui intercepte cette corde de l'autre côté.

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Théorèmes du cercle

Huit théorèmes sur le cercle, un par un. Fais glisser les points sur le cercle et regarde les angles changer pendant que le théorème reste vrai, avec la justification à écrire en contrôle.

Mesures

Ce qui se passe

Tous les théorèmes du cercle viennent d'un seul fait : les rayons OA, OB et OC sont égaux, donc les triangles qu'ils forment avec les cordes sont isocèles. En découpant la figure au centre, on obtient le théorème principal : l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc. Le reste en découle. Deux angles inscrits qui interceptent le même arc valent la moitié du même angle au centre, donc ils sont égaux. Un diamètre donne un angle au centre de 180°, donc un triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle. Les angles opposés d'un quadrilatère inscrit interceptent deux arcs qui forment tout le cercle, donc ils sont supplémentaires. Une tangente touche le cercle en un seul point et elle est perpendiculaire au rayon en ce point : les deux tangentes issues d'un point extérieur ont donc la même longueur, et l'angle entre une tangente et une corde est égal à l'angle inscrit de l'autre côté. La perpendiculaire du centre à une corde coupe un triangle isocèle en deux, donc elle passe par le milieu de la corde.

∠AOB = 2∠ACB∠ACB = ∠ADB∠A + ∠C = 180°tangente ⟂ rayon

Collège (3e) et lycée : angle inscrit et angle au centre, triangle inscrit dans un demi-cercle, tangente à un cercle. Première : quadrilatère inscriptible.

Fais les calculs avec Calculatrice scientifique.

Défi

Prédis d'abord : pour l'angle au centre, place A à 40°, B à 150° et C à 270°. Combien mesure l'angle x = ∠ACB ? Calcule d'abord ∠AOB, tape x (la figure le cache pendant que tu tapes) et appuie sur Vérifier.

Questions fréquentes

Quel lien entre angle inscrit et angle au centre ?: L'angle au centre est le double de tout angle inscrit qui intercepte le même arc. Si l'angle au centre mesure 120°, l'angle inscrit mesure 60°.
Pourquoi un triangle inscrit dans un demi-cercle est-il rectangle ?: Son angle intercepte un diamètre, dont l'angle au centre mesure 180°, et l'angle inscrit en vaut la moitié : 90°.
Que vaut la somme des angles opposés d'un quadrilatère inscrit ?: 180°. Chacun vaut la moitié de l'angle au centre de son arc, et les deux arcs forment le cercle entier, 360°.
Qu'est-ce que le théorème de l'angle tangentiel ?: L'angle entre une tangente et une corde issue du point de contact est égal à tout angle inscrit qui intercepte cette corde de l'autre côté.