Pourquoi f(x + 2) décale-t-elle la courbe vers la gauche ?

Parce que la nouvelle courbe atteint chaque valeur 2 unités plus tôt : ce que f faisait en x = 0 arrive maintenant en x = −2. Donc y = f(x + a) est la translation de vecteur (−a ; 0).

Quelle différence entre 2f(x) et f(2x) ?

2f(x) double chaque ordonnée : dilatation verticale de rapport 2. f(2x) atteint chaque valeur pour un x deux fois plus petit : dilatation horizontale de rapport 1/2.

Que font −f(x) et f(−x) ?

−f(x) est la symétrie d'axe des abscisses (chaque y change de signe). f(−x) est la symétrie d'axe des ordonnées (chaque x change de signe).

Comment décrire y = f(2x − 6) ?

Factorise d'abord : f(2x − 6) = f(2(x − 3)). C'est une dilatation horizontale de rapport 1/2, puis une translation de vecteur (3 ; 0). Translater de 6 d'abord donnerait une autre courbe.

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Transformations de courbes

Choisis une courbe, puis dilate-la, retourne-la et déplace-la avec y = a f(b(x − h)) + k. La courbe pâle est l'originale, la courbe épaisse son image, et le point doré montre où va un point.

Mesures

Ce qui se passe

Ce qui est hors de la parenthèse agit sur y et fait ce qu'il semble faire : y = a f(x) dilate la courbe parallèlement à l'axe des ordonnées de rapport a (si a est négatif, elle est aussi retournée par la symétrie d'axe des abscisses), et y = f(x) + k la monte de k. Ce qui est dans la parenthèse agit sur x et fait l'inverse de ce qu'il semble faire : y = f(bx) dilate parallèlement à l'axe des abscisses de rapport 1/b, donc f(2x) réduit la largeur de moitié, et f(x − h) décale de h vers la droite, donc f(x + 2) décale de 2 vers la gauche. Au total, chaque point (x ; y) de y = f(x) va en (x/b + h ; ay + k). L'ordre compte dans la parenthèse : f(2x − 6) = f(2(x − 3)), soit une dilatation de rapport 1/2 puis une translation de 3 vers la droite, pas de 6. Les asymptotes suivent la courbe : 1/(x − 3) + 1 a pour asymptotes x = 3 et y = 1.

y = a f(b(x − h)) + k(x ; y) → (x/b + h ; ay + k)f(x − h) : translation de vecteur (h ; 0)f(bx) : dilatation horizontale de rapport 1/b

Lycée (seconde) : fonctions de référence et translations. Première et terminale (spécialité maths) : courbes de f(x) + k, f(x + a), a f(x), f(bx), symétries et asymptotes.

Fais les calculs avec Calculatrice graphique.

Défi

Prédis d'abord : le point (2 ; 4) est sur y = x². Où va-t-il sur y = 2(x + 1)² − 3 ? Calcule sa nouvelle abscisse, tape-la, appuie sur Vérifier, puis règle a = 2, h = −1 et k = −3 avec le point en x = 2.

Questions fréquentes

Pourquoi f(x + 2) décale-t-elle la courbe vers la gauche ?: Parce que la nouvelle courbe atteint chaque valeur 2 unités plus tôt : ce que f faisait en x = 0 arrive maintenant en x = −2. Donc y = f(x + a) est la translation de vecteur (−a ; 0).
Quelle différence entre 2f(x) et f(2x) ?: 2f(x) double chaque ordonnée : dilatation verticale de rapport 2. f(2x) atteint chaque valeur pour un x deux fois plus petit : dilatation horizontale de rapport 1/2.
Que font −f(x) et f(−x) ?: −f(x) est la symétrie d'axe des abscisses (chaque y change de signe). f(−x) est la symétrie d'axe des ordonnées (chaque x change de signe).
Comment décrire y = f(2x − 6) ?: Factorise d'abord : f(2x − 6) = f(2(x − 3)). C'est une dilatation horizontale de rapport 1/2, puis une translation de vecteur (3 ; 0). Translater de 6 d'abord donnerait une autre courbe.