Comment utiliser la méthode de Newton ?

Dérive f, choisis une valeur de départ x₀ proche de la racine, puis répète xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ) jusqu'à ce que deux valeurs successives coïncident à la précision voulue. Pour x² − 2 à partir de x₀ = 1, on obtient 1,5 ; 1,41667 ; 1,414216 ; 1,41421356.

Quand la méthode de Newton échoue-t-elle ?

Si f'(xₙ) = 0, la tangente est horizontale et ne coupe jamais l'axe : la méthode s'arrête, ce qui arrive si on part d'un point où la dérivée s'annule. Partir près d'un tel point envoie la valeur suivante très loin. Elle peut aussi tourner en rond : pour x³ − 2x + 2 à partir de x₀ = 0, on obtient 0, 1, 0, 1 indéfiniment. Une autre valeur de départ règle souvent le problème.

Comment savoir si x = g(x) va converger ?

Calcule g'(x) près de la racine. Si |g'(α)| 1, elle s'éloigne de la racine, même en partant tout près. Plus |g'(α)| est petit, plus la convergence est rapide.

Combien d'étapes faut-il pour la dichotomie ?

Chaque étape divise l'intervalle par 2 : après n étapes, sa largeur vaut (b − a)/2ⁿ. Pour obtenir la racine à 10⁻⁶ près à partir d'un intervalle de largeur 1, il faut 2ⁿ > 10⁶, soit n = 20 étapes. Cela fait environ 3,3 étapes par décimale, bien plus lent que Newton, mais garanti dès qu'il y a un changement de signe.

← Toutes les simulations

Méthodes numériques : Newton, point fixe, dichotomie

La plupart des équations n'ont pas de formule pour leurs racines, alors on s'en approche pas à pas. Compare trois façons de faire, leur vitesse, et la manière dont chacune peut échouer.

Erreur selon l'étape (échelle logarithmique)

Mesures

Ce qui se passe

La méthode de Newton part d'une valeur x₀, trace la tangente en ce point et prend son intersection avec l'axe des abscisses comme valeur suivante : xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ). Près d'une racine simple, la convergence est quadratique : chaque erreur est à peu près le carré de la précédente, donc le nombre de chiffres exacts double environ. Elle échoue si une tangente est horizontale (f'(xₙ) = 0) et peut tomber dans un cycle. La méthode du point fixe réécrit f(x) = 0 sous la forme x = g(x) et répète xₙ₊₁ = g(xₙ). Sur le graphique, on monte à la courbe, on va jusqu'à y = x, et on recommence : un escalier si g' est positive, une toile d'araignée si elle est négative. Chaque étape multiplie l'erreur par environ |g'(α)| en la racine α, donc la suite ne converge que si |g'(α)| < 1. La dichotomie a seulement besoin d'un changement de signe : si f(a) et f(b) sont de signes contraires, une f continue s'annule entre les deux (théorème des valeurs intermédiaires), et tester le milieu divise l'intervalle par 2 à chaque étape. Elle n'échoue jamais, mais ne gagne qu'un chiffre toutes les 3,3 étapes.

xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f'(xₙ)xₙ₊₁ = g(xₙ), converge si |g'(α)| < 1Newton : eₙ₊₁ ≈ C eₙ² point fixe : eₙ₊₁ ≈ |g'(α)| eₙ

Lycée (spécialité maths, terminale) : théorème des valeurs intermédiaires, dichotomie, suites un+1 = f(un) et méthode de Newton en algorithmique. Licence première année : ordre de convergence.

Fais les calculs avec Résoudre une équation et Calculatrice graphique.

Défi

Prédis d'abord : méthode de Newton sur x² − 2 = 0 à partir de x₀ = 1. Que valent x₁ et x₂, et combien de chiffres exacts de √2 a x₄ ? Tape ton x₁ dans la case, vérifie, puis avance pas à pas.

Questions fréquentes

Comment utiliser la méthode de Newton ?: Dérive f, choisis une valeur de départ x₀ proche de la racine, puis répète xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ) jusqu'à ce que deux valeurs successives coïncident à la précision voulue. Pour x² − 2 à partir de x₀ = 1, on obtient 1,5 ; 1,41667 ; 1,414216 ; 1,41421356.
Quand la méthode de Newton échoue-t-elle ?: Si f'(xₙ) = 0, la tangente est horizontale et ne coupe jamais l'axe : la méthode s'arrête, ce qui arrive si on part d'un point où la dérivée s'annule. Partir près d'un tel point envoie la valeur suivante très loin. Elle peut aussi tourner en rond : pour x³ − 2x + 2 à partir de x₀ = 0, on obtient 0, 1, 0, 1 indéfiniment. Une autre valeur de départ règle souvent le problème.
Comment savoir si x = g(x) va converger ?: Calcule g'(x) près de la racine. Si |g'(α)| < 1, la suite converge pour des valeurs de départ assez proches, en escalier si g'(α) est positive et en toile d'araignée si elle est négative. Si |g'(α)| > 1, elle s'éloigne de la racine, même en partant tout près. Plus |g'(α)| est petit, plus la convergence est rapide.
Combien d'étapes faut-il pour la dichotomie ?: Chaque étape divise l'intervalle par 2 : après n étapes, sa largeur vaut (b − a)/2ⁿ. Pour obtenir la racine à 10⁻⁶ près à partir d'un intervalle de largeur 1, il faut 2ⁿ > 10⁶, soit n = 20 étapes. Cela fait environ 3,3 étapes par décimale, bien plus lent que Newton, mais garanti dès qu'il y a un changement de signe.