Comment trouver l'argument d'un nombre complexe ?

Place-le dans le plan et mesure l'angle depuis l'axe réel positif, dans le sens direct. arctan(b/a) ne donne la bonne réponse que si a > 0 : si a < 0, ajoute ou retranche π pour que l'argument principal tombe dans ]−π, π].

Pourquoi les arguments s'ajoutent-ils dans un produit ?

Écris z = r(cos α + i sin α) et w = s(cos β + i sin β). En développant et en utilisant les formules d'addition, zw = rs(cos(α + β) + i sin(α + β)). Les modules se multiplient, les angles s'ajoutent.

Que sont les racines de l'unité ?

Les n solutions de zⁿ = 1 : e^(2iπk/n) pour k = 0, 1, ..., n − 1. Elles sont régulièrement réparties sur le cercle unité, aux sommets d'un polygone régulier à n côtés, et pour n ≥ 2 leur somme vaut 0.

Quel est l'argument principal de −1, et de 0 ?

−1 est sur l'axe réel négatif, donc son argument principal est π (et pas −π, car l'intervalle est ]−π, π]). 0 n'a pas d'argument : il n'a pas de direction.

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Nombres complexes dans le plan

Chaque nombre complexe est un point et une flèche. Additionner met les flèches bout à bout ; multiplier multiplie les longueurs et ajoute les angles.

Mesures

Ce qui se passe

Un nombre complexe z = a + bi est le point (a, b) du plan complexe, ou une flèche de longueur |z| = √(a² + b²) qui fait l'angle arg z avec l'axe réel positif. Additionner des complexes additionne les flèches : z + w est le sommet opposé d'un parallélogramme. Multiplier, c'est tourner et agrandir : |zw| = |z||w| et arg zw = arg z + arg w. C'est pour cela que les triangles 0, 1, z et 0, w, zw sont semblables, et que multiplier par i (module 1, angle 90°) fait un quart de tour. Diviser défait tout cela. En répétant la multiplication on obtient la formule de Moivre : zⁿ a pour module |z|ⁿ et pour argument n arg z, donc les puissances tournent en spirale vers l'extérieur (|z| > 1) ou vers l'intérieur (|z| < 1). Dans l'autre sens, les n racines n-ièmes de z ont le module |z|^1/n et sont espacées de 2π/n : ce sont les sommets d'un polygone régulier. Pour z = 1 ce sont les racines de l'unité, dont la somme est toujours 0. L'argument principal est celui de l'intervalle ]−π, π].

z = a + bi = r(cos θ + i sin θ) = re^iθ|zw| = |z||w|, arg zw = arg z + arg wzⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)z^1/n = r^1/n e^iθ/n e^2πik/n

Terminale, maths expertes : forme algébrique, module et argument, forme exponentielle, racines n-ièmes de l'unité. Licence 1 : nombres complexes et géométrie.

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Défi

Prédis d'abord : z = 1 + i. Quels sont le module et l'argument de z⁸ ? Utilise la formule de Moivre, puis choisis zⁿ, règle n = 8 et vérifie.

Questions fréquentes

Comment trouver l'argument d'un nombre complexe ?: Place-le dans le plan et mesure l'angle depuis l'axe réel positif, dans le sens direct. arctan(b/a) ne donne la bonne réponse que si a > 0 : si a < 0, ajoute ou retranche π pour que l'argument principal tombe dans ]−π, π].
Pourquoi les arguments s'ajoutent-ils dans un produit ?: Écris z = r(cos α + i sin α) et w = s(cos β + i sin β). En développant et en utilisant les formules d'addition, zw = rs(cos(α + β) + i sin(α + β)). Les modules se multiplient, les angles s'ajoutent.
Que sont les racines de l'unité ?: Les n solutions de zⁿ = 1 : e^2iπk/n pour k = 0, 1, ..., n − 1. Elles sont régulièrement réparties sur le cercle unité, aux sommets d'un polygone régulier à n côtés, et pour n ≥ 2 leur somme vaut 0.
Quel est l'argument principal de −1, et de 0 ?: −1 est sur l'axe réel négatif, donc son argument principal est π (et pas −π, car l'intervalle est ]−π, π]). 0 n'a pas d'argument : il n'a pas de direction.