Comment trouver la matrice d'une transformation ?

Cherche où vont les vecteurs de base. L'image de i = (1, 0) est la première colonne, celle de j = (0, 1) la seconde. Une rotation d'angle θ envoie i sur (cos θ, sin θ) et j sur (−sin θ, cos θ), d'où la matrice (cos θ −sin θ ; sin θ cos θ).

Que dit le déterminant ?

|det M| est le facteur d'échelle des aires. Le signe donne l'orientation : positif, elle est conservée ; négatif, elle est renversée ; nul, le plan est écrasé sur une droite ou un point et la matrice n'est pas inversible.

Quelle différence entre droite invariante et droite de points fixes ?

Sur une droite de points fixes, chaque point reste en place (valeur propre 1). Une droite invariante est envoyée sur elle-même dans son ensemble, mais ses points peuvent glisser le long d'elle. Celles qui passent par l'origine sont dirigées par des vecteurs propres.

Pourquoi AB n'est-il pas égal à BA ?

AB veut dire : B d'abord, puis A. Tourner puis faire une symétrie n'amène en général pas la figure au même endroit que l'inverse, donc les produits diffèrent. Active la composition dans Avancé et change l'ordre.

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Matrices et transformations du plan

Une matrice 2×2 déplace tous les points du plan. Ses colonnes sont les images de i et j, son déterminant dit comment les aires changent, et ses vecteurs propres sont les droites qui ne tournent pas.

Mesures

Ce qui se passe

Une matrice 2×2 M envoie chaque point (x, y) sur M(x, y), et comme l'application est linéaire, il suffit de savoir où vont les deux vecteurs de base : la première colonne de M est l'image de i et la seconde celle de j. Le quadrillage suit, les carrés deviennent des parallélogrammes, et l'aire de toute figure est multipliée par |det M|. Un déterminant négatif signifie que le plan a été retourné (regarde le F), et un déterminant nul écrase tout sur une droite ou un point : il n'y a pas d'inverse. Un vecteur propre v est une direction que la matrice ne fait pas tourner : Mv = λv, donc la droite passant par l'origine dirigée par v est une droite invariante, étirée par la valeur propre λ. Quand λ = 1, chaque point y reste exactement à sa place : c'est une droite de points fixes. Les rotations d'angle autre que 0° ou 180° ont des valeurs propres complexes et aucune droite invariante passant par l'origine. Faire B puis A revient à la matrice AB, qui en général n'est pas BA.

M(x, y) = x(Mi) + y(Mj)aire de l'image = |det M| × airedet M = ad − bcMv = λv, λ² − (a + d)λ + det M = 0

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Défi

Prédis d'abord : la transvection M = (1 2 ; 0 1). Quel est son déterminant, et quelle droite est formée de points fixes ? Choisis Transvection, règle k = 2 et regarde les mesures et la droite dorée.

Questions fréquentes

Comment trouver la matrice d'une transformation ?: Cherche où vont les vecteurs de base. L'image de i = (1, 0) est la première colonne, celle de j = (0, 1) la seconde. Une rotation d'angle θ envoie i sur (cos θ, sin θ) et j sur (−sin θ, cos θ), d'où la matrice (cos θ −sin θ ; sin θ cos θ).
Que dit le déterminant ?: |det M| est le facteur d'échelle des aires. Le signe donne l'orientation : positif, elle est conservée ; négatif, elle est renversée ; nul, le plan est écrasé sur une droite ou un point et la matrice n'est pas inversible.
Quelle différence entre droite invariante et droite de points fixes ?: Sur une droite de points fixes, chaque point reste en place (valeur propre 1). Une droite invariante est envoyée sur elle-même dans son ensemble, mais ses points peuvent glisser le long d'elle. Celles qui passent par l'origine sont dirigées par des vecteurs propres.
Pourquoi AB n'est-il pas égal à BA ?: AB veut dire : B d'abord, puis A. Tourner puis faire une symétrie n'amène en général pas la figure au même endroit que l'inverse, donc les produits diffèrent. Active la composition dans Avancé et change l'ordre.