Quelle différence entre série de Taylor et série de Maclaurin ?

Aucune sur le fond : la série de Maclaurin est la série de Taylor en a = 0. En a quelconque, on utilise les puissances de (x − a) et les dérivées en a.

Pourquoi la série de ln(1 + x) ne marche-t-elle que pour −1 < x ≤ 1 ?

ln(1 + x) n'est pas défini en x = −1, et une série entière en 0 converge sur un disque qui ne peut pas contenir ce point : le rayon vaut 1. En x = 1 on obtient 1 − 1/2 + 1/3 − ..., qui converge (vers ln 2) ; en x = −1, c'est l'opposé de la série harmonique, qui diverge.

Pourquoi arctan x a-t-elle un rayon 1 alors qu'elle est définie partout ?

Sa dérivée 1/(1 + x²) explose aux complexes x = ±i, à distance 1 de 0. Une série entière converge sur un disque du plan complexe, et ce disque s'arrête au problème le plus proche, même s'il n'est pas sur la droite réelle.

Comment utiliser le reste de Lagrange ?

Calcule la dérivée (n + 1)-ième, majore sa valeur absolue par M entre a et x, et alors |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!. Pour sin x, M = 1 convient toujours.

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Séries de Taylor et de Maclaurin

Un polynôme de Taylor recopie la valeur d'une fonction et ses n premières dérivées en un point. Avec plus de termes il colle à la courbe plus loin, mais seulement jusqu'au rayon de convergence.

Erreur en x₀ selon le degré n (échelle log)

Mesures

Ce qui se passe

Près de x = a, une fonction régulière ressemble à sa tangente, et encore plus à un polynôme qui a la même valeur et les mêmes n premières dérivées en ce point : Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!. Le développement en a = 0 s'appelle série de Maclaurin. Pour eˣ, sin x et cos x les polynômes s'améliorent partout quand n grandit, car le k! du dénominateur finit par battre toute puissance de x. Pour ln(1 + x), 1/(1 − x), √(1 + x) et arctan x, ils ne s'améliorent qu'à l'intérieur de l'intervalle de convergence, à distance R de a ; en dehors, l'erreur grandit avec n, quel que soit le nombre de termes. R est la distance de a au point le plus proche où la fonction cesse d'être sage, et pour arctan ce point n'est même pas réel : c'est ±i, où 1/(1 + x²) explose. Le reste de Lagrange majore l'erreur sans connaître la réponse : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est le maximum de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.

Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ / k!eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − ..., −1 < x ≤ 1|Rₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹ / (n + 1)!

Licence 1 et 2 : formule de Taylor-Lagrange, développements limités, séries entières et rayon de convergence. En terminale, la tangente est le polynôme de degré 1.

Fais les calculs avec Calculatrice graphique et Calculatrice scientifique.

Défi

Prédis d'abord : avec f = sin x en a = 0, quel degré n faut-il pour que Pₙ(3) soit à moins de 0,001 de sin 3 ? Utilise la majoration de Lagrange 3ⁿ⁺¹/(n + 1)!, puis règle x₀ = 3 et monte n.

Questions fréquentes

Quelle différence entre série de Taylor et série de Maclaurin ?: Aucune sur le fond : la série de Maclaurin est la série de Taylor en a = 0. En a quelconque, on utilise les puissances de (x − a) et les dérivées en a.
Pourquoi la série de ln(1 + x) ne marche-t-elle que pour −1 < x ≤ 1 ?: ln(1 + x) n'est pas défini en x = −1, et une série entière en 0 converge sur un disque qui ne peut pas contenir ce point : le rayon vaut 1. En x = 1 on obtient 1 − 1/2 + 1/3 − ..., qui converge (vers ln 2) ; en x = −1, c'est l'opposé de la série harmonique, qui diverge.
Pourquoi arctan x a-t-elle un rayon 1 alors qu'elle est définie partout ?: Sa dérivée 1/(1 + x²) explose aux complexes x = ±i, à distance 1 de 0. Une série entière converge sur un disque du plan complexe, et ce disque s'arrête au problème le plus proche, même s'il n'est pas sur la droite réelle.
Comment utiliser le reste de Lagrange ?: Calcule la dérivée (n + 1)-ième, majore sa valeur absolue par M entre a et x, et alors |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!. Pour sin x, M = 1 convient toujours.