Warum verschiebt f(x + 2) den Graphen nach links?

Weil der neue Graph jeden Wert 2 Einheiten früher erreicht: Was f bei x = 0 tat, passiert jetzt bei x = −2. y = f(x + a) ist also eine Verschiebung um a nach links.

Was ist der Unterschied zwischen 2f(x) und f(2x)?

2f(x) verdoppelt jeden y-Wert: Streckung in y-Richtung mit Faktor 2. f(2x) erreicht jeden Wert schon beim halben x: Stauchung in x-Richtung mit Faktor 1/2.

Was machen −f(x) und f(−x)?

−f(x) ist eine Spiegelung an der x-Achse (jedes y wechselt das Vorzeichen). f(−x) ist eine Spiegelung an der y-Achse (jedes x wechselt das Vorzeichen).

Wie beschreibe ich y = f(2x − 6)?

Erst in der Klammer ausklammern: f(2x − 6) = f(2(x − 3)). Das ist eine Stauchung in x-Richtung mit Faktor 1/2 und danach eine Verschiebung um 3 nach rechts. Zuerst um 6 zu verschieben ergäbe einen anderen Graphen.

Welcher Punkt wird bei y = 2f(x − 3) + 1 auf (5, 7) abgebildet?

Jeden Schritt rückgängig machen: x = 5 − 3 = 2 und y = (7 − 1) / 2 = 3, also wird (2, 3) auf (5, 7) abgebildet. Unter Berechnen wählst du Urbild eines Punktes und gibst a = 2, b = 1, h = 3, k = 1 und den Bildpunkt ein.

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Transformation von Funktionsgraphen

Wähl einen Graphen und streck, spiegel und verschieb ihn mit y = a f(b(x − h)) + k. Die blasse Kurve ist das Original, die kräftige das Bild, und der goldene Punkt zeigt genau, wohin ein Punkt wandert.

Nur das Ergebnis? Grafikrechner

Messwerte

Was passiert hier

Änderungen außerhalb der Klammer wirken auf y und tun, wonach sie aussehen: y = a f(x) streckt den Graphen in y-Richtung mit Faktor a (ein negatives a spiegelt ihn zusätzlich an der x-Achse), und y = f(x) + k verschiebt ihn um k nach oben. Änderungen in der Klammer wirken auf x und tun das Gegenteil von dem, wonach sie aussehen: y = f(bx) streckt in x-Richtung mit Faktor 1/b, f(2x) staucht den Graphen also auf die halbe Breite, und f(x − h) verschiebt um h nach rechts, f(x + 2) also um 2 nach links. Zusammen geht jeder Punkt (x | y) von y = f(x) nach (x/b + h | ay + k). In der Klammer zählt die Reihenfolge: f(2x − 6) ist f(2(x − 3)), also erst Stauchung mit Faktor 1/2 und dann Verschiebung um 3 nach rechts, nicht um 6. Asymptoten wandern mit: 1/(x − 3) + 1 hat die Asymptoten x = 3 und y = 1.

y = a f(b(x − h)) + k(x | y) → (x/b + h | ay + k)f(x − h): Verschiebung um h nach rechtsf(bx): Streckung in x-Richtung mit Faktor 1/b

Mittelstufe: Verschieben und Strecken der Normalparabel. Oberstufe Mathematik: Transformation von Funktionsgraphen, Streckung, Stauchung, Spiegelung, Asymptoten.

Challenge

Erst schätzen: Der Punkt (2 | 4) liegt auf y = x². Wohin wandert er auf y = 2(x + 1)² − 3? Berechne die neue x-Koordinate, gib sie ein, drück Prüfen und stell dann a = 2, h = −1 und k = −3 mit dem Punkt bei x = 2 ein.

Häufige Fragen

Warum verschiebt f(x + 2) den Graphen nach links?: Weil der neue Graph jeden Wert 2 Einheiten früher erreicht: Was f bei x = 0 tat, passiert jetzt bei x = −2. y = f(x + a) ist also eine Verschiebung um a nach links.
Was ist der Unterschied zwischen 2f(x) und f(2x)?: 2f(x) verdoppelt jeden y-Wert: Streckung in y-Richtung mit Faktor 2. f(2x) erreicht jeden Wert schon beim halben x: Stauchung in x-Richtung mit Faktor 1/2.
Was machen −f(x) und f(−x)?: −f(x) ist eine Spiegelung an der x-Achse (jedes y wechselt das Vorzeichen). f(−x) ist eine Spiegelung an der y-Achse (jedes x wechselt das Vorzeichen).
Wie beschreibe ich y = f(2x − 6)?: Erst in der Klammer ausklammern: f(2x − 6) = f(2(x − 3)). Das ist eine Stauchung in x-Richtung mit Faktor 1/2 und danach eine Verschiebung um 3 nach rechts. Zuerst um 6 zu verschieben ergäbe einen anderen Graphen.
Welcher Punkt wird bei y = 2f(x − 3) + 1 auf (5, 7) abgebildet?: Jeden Schritt rückgängig machen: x = 5 − 3 = 2 und y = (7 − 1) / 2 = 3, also wird (2, 3) auf (5, 7) abgebildet. Unter Berechnen wählst du Urbild eines Punktes und gibst a = 2, b = 1, h = 3, k = 1 und den Bildpunkt ein.