Pourquoi f(x + 2) décale-t-elle la courbe vers la gauche ?

Parce que la nouvelle courbe atteint chaque valeur 2 unités plus tôt : ce que f faisait en x = 0 arrive maintenant en x = −2. Donc y = f(x + a) est la translation de vecteur (−a ; 0).

Quelle différence entre 2f(x) et f(2x) ?

2f(x) double chaque ordonnée : dilatation verticale de rapport 2. f(2x) atteint chaque valeur pour un x deux fois plus petit : dilatation horizontale de rapport 1/2.

Que font −f(x) et f(−x) ?

−f(x) est la symétrie d'axe des abscisses (chaque y change de signe). f(−x) est la symétrie d'axe des ordonnées (chaque x change de signe).

Comment décrire y = f(2x − 6) ?

Factorise d'abord : f(2x − 6) = f(2(x − 3)). C'est une dilatation horizontale de rapport 1/2, puis une translation de vecteur (3 ; 0). Translater de 6 d'abord donnerait une autre courbe.

Quel point a pour image (5, 7) par y = 2f(x − 3) + 1 ?

Défais chaque étape : x = 5 − 3 = 2 et y = (7 − 1) / 2 = 3, donc (2, 3) a pour image (5, 7). Dans Calculer, choisis Antécédent, tape a = 2, b = 1, h = 3, k = 1 et l'image.

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Transformations de courbes

Choisis une courbe, puis dilate-la, retourne-la et déplace-la avec y = a f(b(x − h)) + k. La courbe pâle est l'originale, la courbe épaisse son image, et le point doré montre où va un point.

Juste le résultat ? Calculatrice graphique

Mesures

Ce qui se passe

Ce qui est hors de la parenthèse agit sur y et fait ce qu'il semble faire : y = a f(x) dilate la courbe parallèlement à l'axe des ordonnées de rapport a (si a est négatif, elle est aussi retournée par la symétrie d'axe des abscisses), et y = f(x) + k la monte de k. Ce qui est dans la parenthèse agit sur x et fait l'inverse de ce qu'il semble faire : y = f(bx) dilate parallèlement à l'axe des abscisses de rapport 1/b, donc f(2x) réduit la largeur de moitié, et f(x − h) décale de h vers la droite, donc f(x + 2) décale de 2 vers la gauche. Au total, chaque point (x ; y) de y = f(x) va en (x/b + h ; ay + k). L'ordre compte dans la parenthèse : f(2x − 6) = f(2(x − 3)), soit une dilatation de rapport 1/2 puis une translation de 3 vers la droite, pas de 6. Les asymptotes suivent la courbe : 1/(x − 3) + 1 a pour asymptotes x = 3 et y = 1.

y = a f(b(x − h)) + k(x ; y) → (x/b + h ; ay + k)f(x − h) : translation de vecteur (h ; 0)f(bx) : dilatation horizontale de rapport 1/b

Lycée (seconde) : fonctions de référence et translations. Première et terminale (spécialité maths) : courbes de f(x) + k, f(x + a), a f(x), f(bx), symétries et asymptotes.

Défi

Prédis d'abord : le point (2 ; 4) est sur y = x². Où va-t-il sur y = 2(x + 1)² − 3 ? Calcule sa nouvelle abscisse, tape-la, appuie sur Vérifier, puis règle a = 2, h = −1 et k = −3 avec le point en x = 2.

Questions fréquentes

Pourquoi f(x + 2) décale-t-elle la courbe vers la gauche ?: Parce que la nouvelle courbe atteint chaque valeur 2 unités plus tôt : ce que f faisait en x = 0 arrive maintenant en x = −2. Donc y = f(x + a) est la translation de vecteur (−a ; 0).
Quelle différence entre 2f(x) et f(2x) ?: 2f(x) double chaque ordonnée : dilatation verticale de rapport 2. f(2x) atteint chaque valeur pour un x deux fois plus petit : dilatation horizontale de rapport 1/2.
Que font −f(x) et f(−x) ?: −f(x) est la symétrie d'axe des abscisses (chaque y change de signe). f(−x) est la symétrie d'axe des ordonnées (chaque x change de signe).
Comment décrire y = f(2x − 6) ?: Factorise d'abord : f(2x − 6) = f(2(x − 3)). C'est une dilatation horizontale de rapport 1/2, puis une translation de vecteur (3 ; 0). Translater de 6 d'abord donnerait une autre courbe.
Quel point a pour image (5, 7) par y = 2f(x − 3) + 1 ?: Défais chaque étape : x = 5 − 3 = 2 et y = (7 − 1) / 2 = 3, donc (2, 3) a pour image (5, 7). Dans Calculer, choisis Antécédent, tape a = 2, b = 1, h = 3, k = 1 et l'image.