Comment trouver le sommet d'une parabole ?

Mets le trinôme sous forme canonique : y = a(x − α)² + β a pour sommet (α ; β). Ou calcule α = −b/2a puis β en remplaçant x par α. Pour y = x² − 2x − 3, α = 1 et β = −4.

Que dit le discriminant ?

Si Δ > 0, deux racines réelles ; si Δ = 0, une racine double (la courbe touche l'axe des abscisses) ; si Δ < 0, aucune racine réelle (la courbe ne coupe pas l'axe).

Quand un trinôme se factorise-t-il avec des rationnels ?

Quand ses racines sont rationnelles, c'est-à-dire quand Δ est un carré parfait. x² − 2x − 3 a Δ = 16 = 4², donc x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1).

Comment résoudre x² − 2x − 3 > 0 ?

Trouve les racines (−1 et 3), trace la parabole et regarde où elle est au-dessus de l'axe. Si a > 0, c'est à l'extérieur des racines : x 3. Pour < 0, c'est entre les racines : −1 < x < 3.

Comment retrouver un trinôme à partir de ses racines ?

Écris y = a(x − r₁)(x − r₂) et utilise une information de plus pour fixer a. Racines 1 et 3, passant par (0, 6) : 6 = a(0 − 1)(0 − 3) = 3a, donc a = 2 et y = 2x² − 8x + 6. Dans Calculer, choisis Racines et un point pour voir les calculs.

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Fonctions du second degré : racines et sommet

Change a, b et c et regarde la parabole bouger : ses racines, son sommet et son axe de symétrie, avec la forme canonique et la forme factorisée calculées exactement.

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Mesures

Ce qui se passe

Toute fonction y = ax² + bx + c se représente par une parabole, tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0. Elle est symétrique par rapport à la droite verticale x = −b/2a, et le sommet est sur cette droite. La forme canonique y = a(x − α)² + β donne directement le sommet (α ; β), car un carré n'est jamais négatif. Les racines sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses, et la formule du discriminant les donne. Le discriminant Δ = b² − 4ac décide de leur nombre : positif, deux racines réelles ; nul, une racine double où la courbe touche juste l'axe ; négatif, aucune racine réelle, car il faudrait la racine carrée d'un nombre négatif (les racines sont alors complexes). Quand Δ est un carré parfait, les racines sont rationnelles et le trinôme se factorise.

x = (−b ± √Δ) / 2ay = a(x − α)² + β, α = −b/2aΔ = b² − 4ac

Lycée (spécialité maths, première) : second degré, forme canonique, discriminant, factorisation et signe du trinôme. Terminale (maths expertes) : racines complexes.

Fais les calculs avec Calculatrice graphique.

Défi

Prédis d'abord : pour y = 2x² − 8x + 3, où est le sommet, et combien de fois la courbe coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Tape l'abscisse du sommet, appuie sur Vérifier, puis règle a, b et c pour voir.

Questions fréquentes

Comment trouver le sommet d'une parabole ?: Mets le trinôme sous forme canonique : y = a(x − α)² + β a pour sommet (α ; β). Ou calcule α = −b/2a puis β en remplaçant x par α. Pour y = x² − 2x − 3, α = 1 et β = −4.
Que dit le discriminant ?: Si Δ > 0, deux racines réelles ; si Δ = 0, une racine double (la courbe touche l'axe des abscisses) ; si Δ < 0, aucune racine réelle (la courbe ne coupe pas l'axe).
Quand un trinôme se factorise-t-il avec des rationnels ?: Quand ses racines sont rationnelles, c'est-à-dire quand Δ est un carré parfait. x² − 2x − 3 a Δ = 16 = 4², donc x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1).
Comment résoudre x² − 2x − 3 > 0 ?: Trouve les racines (−1 et 3), trace la parabole et regarde où elle est au-dessus de l'axe. Si a > 0, c'est à l'extérieur des racines : x < −1 ou x > 3. Pour < 0, c'est entre les racines : −1 < x < 3.
Comment retrouver un trinôme à partir de ses racines ?: Écris y = a(x − r₁)(x − r₂) et utilise une information de plus pour fixer a. Racines 1 et 3, passant par (0, 6) : 6 = a(0 − 1)(0 − 3) = 3a, donc a = 2 et y = 2x² − 8x + 6. Dans Calculer, choisis Racines et un point pour voir les calculs.