Wie stelle ich die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte auf?

Berechne die Steigung m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Setz einen Punkt in y − y₁ = m(x − x₁) ein und forme nach y um. Für (−2 | −1) und (4 | 3): m = 4/6 = 2/3, und y + 1 = (2/3)(x + 2) ergibt y = (2/3)x + 1/3.

Woran erkenne ich, dass zwei Geraden senkrecht sind?

Multipliziere die Steigungen. Ist das Produkt −1, stehen sie senkrecht aufeinander: Eine Gerade mit Steigung 2/3 ist senkrecht zu jeder Geraden mit Steigung −3/2. Die Ausnahme sind eine senkrechte und eine waagerechte Gerade, denn die senkrechte hat keine Steigung.

Was bedeutet c in y = mx + c?

Es ist der y-Achsenabschnitt: der y-Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet, denn x = 0 eingesetzt lässt y = c übrig.

Wie berechne ich Mittelpunkt und Länge von AB?

Der Mittelpunkt mittelt die Koordinaten: ((x₁ + x₂)/2 | (y₁ + y₂)/2). Die Länge ist √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), also Pythagoras mit Breite und Höhe.

Wie finde ich die Parallele oder Senkrechte zu einer Geraden durch einen Punkt?

Die Parallele behält die Steigung, die Senkrechte nimmt den negativen Kehrwert. Für 2x − y + 3 = 0 (Steigung 2) durch (1, 4): die Parallele ist y − 4 = 2(x − 1), also y = 2x + 2, die Senkrechte y − 4 = −(1/2)(x − 1), also y = −(1/2)x + 9/2. Unter Berechnen wählst du Parallele und Senkrechte und gibst a = 2, b = −1, c = 3 und den Punkt ein.

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Geraden: y = mx + c

Zieh zwei Punkte und lies die Gerade durch sie ab: ihre Steigung als Höhe durch Breite des Steigungsdreiecks, die Achsenschnittpunkte und die Gleichung mit exakten Brüchen.

Nur das Ergebnis? Gleichungslöser

Messwerte

Was passiert hier

Die Steigung m einer Geraden sagt, um wie viel sie pro 1 nach rechts steigt: Nimm zwei beliebige Punkte und teile die Änderung von y (die Höhe) durch die Änderung von x (die Breite). Weil die Gerade gerade ist, liefert jedes Punktepaar dasselbe Ergebnis, deshalb darf das goldene Steigungsdreieck überall sitzen. Der y-Achsenabschnitt c ist die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, also lässt sich y = mx + c direkt am Bild ablesen. Multipliziert man die Brüche weg, entsteht die allgemeine Form ax + by + c = 0 mit ganzen Zahlen. Parallele Geraden haben dieselbe Steigung; bei senkrechten Geraden ist das Produkt der Steigungen −1. Der Mittelpunkt von AB mittelt die Koordinaten, und die Länge von AB kommt aus dem Satz des Pythagoras mit Höhe und Breite.

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)y − y₁ = m(x − x₁)m₁ × m₂ = −1AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Mittelstufe (Klasse 8 bis 10): lineare Funktionen, Steigungsdreieck, Achsenabschnitt, Geradengleichung durch zwei Punkte. Oberstufe: orthogonale Geraden, Mittelpunkt und Abstand zweier Punkte.

Rechne die Zahlen mit Grafikrechner und Brüche und Prozente nach.

Challenge

Erst schätzen: die Gerade durch A(−2 | −1) und B(4 | 3). Wie groß ist ihre Steigung, und wo schneidet sie die y-Achse? Gib die Steigung als Dezimalzahl ein, drück Prüfen und zieh dann A und B dorthin, um das Steigungsdreieck abzulesen.

Häufige Fragen

Wie stelle ich die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte auf?: Berechne die Steigung m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Setz einen Punkt in y − y₁ = m(x − x₁) ein und forme nach y um. Für (−2 | −1) und (4 | 3): m = 4/6 = 2/3, und y + 1 = (2/3)(x + 2) ergibt y = (2/3)x + 1/3.
Woran erkenne ich, dass zwei Geraden senkrecht sind?: Multipliziere die Steigungen. Ist das Produkt −1, stehen sie senkrecht aufeinander: Eine Gerade mit Steigung 2/3 ist senkrecht zu jeder Geraden mit Steigung −3/2. Die Ausnahme sind eine senkrechte und eine waagerechte Gerade, denn die senkrechte hat keine Steigung.
Was bedeutet c in y = mx + c?: Es ist der y-Achsenabschnitt: der y-Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet, denn x = 0 eingesetzt lässt y = c übrig.
Wie berechne ich Mittelpunkt und Länge von AB?: Der Mittelpunkt mittelt die Koordinaten: ((x₁ + x₂)/2 | (y₁ + y₂)/2). Die Länge ist √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), also Pythagoras mit Breite und Höhe.
Wie finde ich die Parallele oder Senkrechte zu einer Geraden durch einen Punkt?: Die Parallele behält die Steigung, die Senkrechte nimmt den negativen Kehrwert. Für 2x − y + 3 = 0 (Steigung 2) durch (1, 4): die Parallele ist y − 4 = 2(x − 1), also y = 2x + 2, die Senkrechte y − 4 = −(1/2)(x − 1), also y = −(1/2)x + 9/2. Unter Berechnen wählst du Parallele und Senkrechte und gibst a = 2, b = −1, c = 3 und den Punkt ein.