¿Cómo se calcula el argumento de un complejo?

Dibújalo en el diagrama de Argand y mide el ángulo desde el semieje real positivo, en sentido antihorario. arctg(b/a) solo acierta en el primer y cuarto cuadrante: en el segundo suma π y en el tercero resta π, para que el argumento principal quede en (−π, π].

¿Por qué al multiplicar se suman los argumentos?

Escribe z = r(cos α + i sen α) y w = s(cos β + i sen β). Al multiplicar y usar las fórmulas de la suma queda zw = rs(cos(α + β) + i sen(α + β)). Los módulos se multiplican y los ángulos se suman.

¿Qué son las raíces de la unidad?

Las n soluciones de zⁿ = 1. Son e^(2πik/n) con k = 0, 1, ..., n − 1, repartidas por igual en la circunferencia unidad como vértices de un polígono regular de n lados, y para n ≥ 2 suman 0.

¿Cuál es el argumento principal de −1? ¿Y el de 0?

−1 está en el semieje real negativo, así que su argumento principal es π (no −π, porque el intervalo es (−π, π]). 0 no tiene argumento, porque no tiene dirección.

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Números complejos en el diagrama de Argand

Cada número complejo es un punto y una flecha. Sumar encadena flechas; multiplicar multiplica las longitudes y suma los ángulos.

Lecturas

Qué está pasando

Un número complejo z = a + bi es el punto (a, b) del diagrama de Argand, o una flecha de longitud |z| = √(a² + b²) que forma el ángulo arg z con el semieje real positivo. Sumar complejos suma las flechas, así que z + w es el vértice opuesto de un paralelogramo. Multiplicar es girar y escalar: |zw| = |z||w| y arg zw = arg z + arg w, por eso el triángulo 0, 1, z y el triángulo 0, w, zw son semejantes, y por eso multiplicar por i (módulo 1, ángulo 90°) es un cuarto de vuelta. Dividir lo deshace. Repetir la multiplicación da la fórmula de De Moivre: zⁿ tiene módulo |z|ⁿ y argumento n arg z, así que las potencias forman una espiral hacia fuera (|z| > 1) o hacia dentro (|z| < 1). Al revés, las n raíces de z tienen módulo |z|^1/n y están separadas 2π/n, en los vértices de un polígono regular; para z = 1 son las raíces de la unidad y siempre suman 0. El argumento principal es el que está en (−π, π].

z = a + bi = r(cos θ + i sen θ) = re^iθ|zw| = |z||w|, arg zw = arg z + arg wzⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ)z^1/n = r^1/n e^iθ/n e^2πik/n

Bachillerato (Matemáticas I): números complejos en forma binómica y polar, potencias y raíces. Primer curso de universidad: variable compleja.

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Reto

Predice primero: z = 1 + i. ¿Qué módulo y argumento tiene z⁸? Usa De Moivre, luego elige zⁿ, pon n = 8 y compruébalo.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el argumento de un complejo?: Dibújalo en el diagrama de Argand y mide el ángulo desde el semieje real positivo, en sentido antihorario. arctg(b/a) solo acierta en el primer y cuarto cuadrante: en el segundo suma π y en el tercero resta π, para que el argumento principal quede en (−π, π].
¿Por qué al multiplicar se suman los argumentos?: Escribe z = r(cos α + i sen α) y w = s(cos β + i sen β). Al multiplicar y usar las fórmulas de la suma queda zw = rs(cos(α + β) + i sen(α + β)). Los módulos se multiplican y los ángulos se suman.
¿Qué son las raíces de la unidad?: Las n soluciones de zⁿ = 1. Son e^2πik/n con k = 0, 1, ..., n − 1, repartidas por igual en la circunferencia unidad como vértices de un polígono regular de n lados, y para n ≥ 2 suman 0.
¿Cuál es el argumento principal de −1? ¿Y el de 0?: −1 está en el semieje real negativo, así que su argumento principal es π (no −π, porque el intervalo es (−π, π]). 0 no tiene argumento, porque no tiene dirección.