¿Cómo se usa el método de Newton-Raphson?

Deriva f, elige un valor inicial x₀ cerca de la raíz y repite xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ) hasta que dos valores seguidos coincidan con la precisión que necesitas. Para x² − 2 desde x₀ = 1 los valores son 1,5; 1,41667; 1,414216; 1,41421356.

¿Cuándo falla Newton-Raphson?

Si f'(xₙ) = 0 la tangente es horizontal y nunca corta al eje x, así que el método se para; pasa si empiezas en un punto estacionario. Empezar cerca de uno manda el siguiente valor muy lejos. También puede entrar en un ciclo: para x³ − 2x + 2 desde x₀ = 0 los valores son 0, 1, 0, 1 sin fin. Otro valor inicial suele arreglarlo.

¿Cómo sé si x = g(x) va a converger?

Calcula g'(x) cerca de la raíz. Si |g'(α)| 1 se aleja de la raíz por muy cerca que empieces. Cuanto menor sea |g'(α)|, más rápido converge.

¿Cuántos pasos necesita la bisección?

Cada paso divide el intervalo entre 2, así que tras n pasos mide (b − a)/2ⁿ. Para tener la raíz con error menor que 10⁻⁶ partiendo de un intervalo de anchura 1 hace falta 2ⁿ > 10⁶, es decir, n = 20 pasos. Son unos 3,3 pasos por cada cifra decimal más: mucho más lento que Newton, pero seguro siempre que haya cambio de signo.

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Métodos numéricos: Newton-Raphson, iteración y bisección

La mayoría de las ecuaciones no tienen fórmula para sus raíces, así que nos acercamos a ellas paso a paso. Compara tres maneras de hacerlo, lo rápido que llega cada una y cómo puede fallar.

Error frente al paso (escala logarítmica)

Lecturas

Qué está pasando

Newton-Raphson parte de un valor x₀, traza la tangente ahí y toma como siguiente valor el punto donde corta al eje x: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ). Cerca de una raíz simple converge cuadráticamente: cada error es más o menos el cuadrado del anterior, así que las cifras correctas se duplican. Falla si una tangente es horizontal (f'(xₙ) = 0) y puede caer en un ciclo. La iteración de punto fijo reescribe f(x) = 0 como x = g(x) y repite xₙ₊₁ = g(xₙ). En la gráfica es subir a la curva, ir hasta y = x y repetir: una escalera si g' es positiva y una telaraña si es negativa. Cada paso multiplica el error por |g'(α)| en la raíz α, así que solo converge si |g'(α)| < 1. La bisección solo necesita un cambio de signo: si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, una f continua tiene una raíz entre ellos, y probar el punto medio divide el intervalo entre 2 en cada paso. Nunca falla, pero solo gana una cifra cada 3,3 pasos.

xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f'(xₙ)xₙ₊₁ = g(xₙ), converge si |g'(α)| < 1Newton: eₙ₊₁ ≈ C eₙ² iteración: eₙ₊₁ ≈ |g'(α)| eₙ

Bachillerato (Matemáticas II): teorema de Bolzano y método de bisección, método de Newton. Primer curso de universidad (cálculo numérico): iteración de punto fijo y orden de convergencia.

Haz las cuentas con Resolver ecuaciones y Calculadora gráfica.

Reto

Predice primero: Newton-Raphson en x² − 2 = 0 desde x₀ = 1. ¿Cuánto valen x₁ y x₂, y cuántas cifras correctas de √2 tiene x₄? Escribe tu x₁ en la casilla, compruébalo y sigue paso a paso.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se usa el método de Newton-Raphson?: Deriva f, elige un valor inicial x₀ cerca de la raíz y repite xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ) hasta que dos valores seguidos coincidan con la precisión que necesitas. Para x² − 2 desde x₀ = 1 los valores son 1,5; 1,41667; 1,414216; 1,41421356.
¿Cuándo falla Newton-Raphson?: Si f'(xₙ) = 0 la tangente es horizontal y nunca corta al eje x, así que el método se para; pasa si empiezas en un punto estacionario. Empezar cerca de uno manda el siguiente valor muy lejos. También puede entrar en un ciclo: para x³ − 2x + 2 desde x₀ = 0 los valores son 0, 1, 0, 1 sin fin. Otro valor inicial suele arreglarlo.
¿Cómo sé si x = g(x) va a converger?: Calcula g'(x) cerca de la raíz. Si |g'(α)| < 1 la iteración converge para valores iniciales bastante cercanos, en escalera si g'(α) es positiva y en telaraña si es negativa. Si |g'(α)| > 1 se aleja de la raíz por muy cerca que empieces. Cuanto menor sea |g'(α)|, más rápido converge.
¿Cuántos pasos necesita la bisección?: Cada paso divide el intervalo entre 2, así que tras n pasos mide (b − a)/2ⁿ. Para tener la raíz con error menor que 10⁻⁶ partiendo de un intervalo de anchura 1 hace falta 2ⁿ > 10⁶, es decir, n = 20 pasos. Son unos 3,3 pasos por cada cifra decimal más: mucho más lento que Newton, pero seguro siempre que haya cambio de signo.