¿Cómo calculo P(a < X < b) en una normal?

Tipifica cada límite con z = (x − μ)/σ, busca Φ(z) para cada uno y réstalos: P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a). La simulación sombrea esa misma área y da el valor con cuatro decimales.

¿Por qué 1,96 para el 95 %?

Φ(1,96) = 0,975, así que el 2,5 % del área queda por encima de z = 1,96 y, por simetría, otro 2,5 % por debajo de z = −1,96. El 95 % restante queda en medio.

¿Cuándo puedo usar la normal en lugar de la binomial?

Cuando n es grande y p no está cerca de 0 ni de 1, de modo que np y n(1 − p) superan más o menos 5. Usa μ = np, σ² = np(1 − p) y amplía cada límite entero en 0,5 (corrección por continuidad). Activa la aproximación en Avanzado para comparar.

¿Qué hace la normal inversa?

Hace el camino contrario: das una probabilidad p y encuentra el valor b con P(X < b) = p. Por ejemplo, el 2,5 % superior de una normal estándar empieza en z = 1,96.

← Todas las simulaciones

Distribución normal y binomial

La probabilidad es el área sombreada. Mueve los límites, cambia μ y σ (o n y p) y mira cómo las muestras aleatorias forman la misma figura.

Proporción de muestras en la región

Lecturas

Qué está pasando

Una variable aleatoria continua no tiene probabilidad en un punto, solo en un intervalo, y esa probabilidad es el área bajo la curva de densidad. Una normal queda fijada por su media μ y su desviación típica σ, y toda normal se convierte en la normal estándar si mides en puntuaciones z, z = (x − μ)/σ. Por eso el 95 % de los valores siempre queda a menos de 1,96 desviaciones típicas de la media. La binomial cuenta éxitos en n ensayos independientes con probabilidad p: sus barras se suman igual. Pulsa Muestrear para sacar valores al azar: el histograma dorado se ajusta a la curva y la proporción que cae en tu región se acerca a la probabilidad. Es la ley de los grandes números.

z = (x − μ) / σP(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)P(X = k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

Bachillerato (Matemáticas II y CCSS): distribución binomial y normal, tipificación y aproximación de la binomial por la normal. Primer curso de estadística en la universidad.

Haz las cuentas con Calculadora de estadística.

Reto

Predice primero: ¿qué parte de una normal queda a menos de 2 desviaciones típicas de la media? ¿Y a menos de 1,96? Ajusta a y b, lee el área y luego saca 2000 muestras para ver cuánto se acerca la proporción.

Preguntas frecuentes

¿Cómo calculo P(a < X < b) en una normal?: Tipifica cada límite con z = (x − μ)/σ, busca Φ(z) para cada uno y réstalos: P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a). La simulación sombrea esa misma área y da el valor con cuatro decimales.
¿Por qué 1,96 para el 95 %?: Φ(1,96) = 0,975, así que el 2,5 % del área queda por encima de z = 1,96 y, por simetría, otro 2,5 % por debajo de z = −1,96. El 95 % restante queda en medio.
¿Cuándo puedo usar la normal en lugar de la binomial?: Cuando n es grande y p no está cerca de 0 ni de 1, de modo que np y n(1 − p) superan más o menos 5. Usa μ = np, σ² = np(1 − p) y amplía cada límite entero en 0,5 (corrección por continuidad). Activa la aproximación en Avanzado para comparar.
¿Qué hace la normal inversa?: Hace el camino contrario: das una probabilidad p y encuentra el valor b con P(X < b) = p. Por ejemplo, el 2,5 % superior de una normal estándar empieza en z = 1,96.