Séries de Fourier
Tout signal périodique se construit en additionnant des sinus et des cosinus de fréquences multiples d'une fréquence de base. Ajoute des harmoniques et regarde la somme se rapprocher du signal, partout sauf juste à côté d'un saut.
Spectre : amplitude de chaque harmonique
Mesures
Ce qui se passe
Un signal de période 2π s'écrit comme une constante plus des harmoniques : f(t) ≈ a₀/2 + Σ (aₙ cos nt + bₙ sin nt). Chaque coefficient mesure la part de cet harmonique dans le signal ; on l'obtient en multipliant par cos nt ou sin nt et en prenant la moyenne sur une période, car deux harmoniques différents se compensent en moyenne. La symétrie fait une bonne partie du travail : un signal impair n'a besoin que de sinus, un signal pair que de cosinus, et un signal tel que f(t + π) = −f(t) que d'harmoniques impairs. Pour un signal régulier les coefficients décroissent vite (en 1/n² pour le triangle) et la somme colle vite ; avec un saut ils décroissent en 1/n et la somme ondule. Juste à côté d'un saut, la somme partielle dépasse toujours d'environ 8,95 % du saut, quel que soit le nombre de termes : c'est le phénomène de Gibbs. Le dépassement s'amincit, donc l'erreur quadratique moyenne tend quand même vers 0, et l'égalité de Parseval la donne directement à partir des coefficients. Appuie sur Démarrer pour voir chaque harmonique comme une flèche qui tourne : les flèches se mettent bout à bout et la hauteur de la dernière pointe trace la somme.
Licence 2 (maths, physique, sciences de l'ingénieur) : séries de Fourier, fonctions paires et impaires, convergence, phénomène de Gibbs et égalité de Parseval.
Fais les calculs avec Calculatrice graphique.
Défi
Prédis d'abord : quand N grandit, le dépassement du signal carré près du saut tend-il vers 0 ? Estime sa taille pour N = 99 en pourcentage du saut, saisis-la, puis active le zoom dans Avancé et monte N.
Non. Le dépassement s'amincit et se rapproche du saut, mais sa hauteur se stabilise vers 8,95 % du saut (0,179 au-dessus de la valeur 1, puisque le saut vaut 2). Pour N = 99 il vaut 8,95 % à deux décimales. L'erreur quadratique moyenne tend quand même vers 0, car le pic devient de plus en plus fin.
Questions fréquentes
- Comment calculer les coefficients de Fourier ?
- Pour une période 2π, aₙ = (1/π)∫ f(t) cos nt dt et bₙ = (1/π)∫ f(t) sin nt dt sur une période, et a₀/2 est la valeur moyenne de f. Pour le signal carré (−1 puis 1), on trouve bₙ = 4/(nπ) pour n impair et 0 pour tous les autres coefficients.
- Pourquoi une fonction impaire n'a-t-elle que des sinus ?
- Si f(−t) = −f(t), alors f(t) cos nt est impaire aussi, et une fonction impaire a une intégrale nulle sur une période symétrique : tous les aₙ sont nuls. De même, pour une fonction paire, tous les bₙ sont nuls.
- Qu'est-ce que le phénomène de Gibbs ?
- Près d'un saut, une somme partielle de Fourier dépasse le signal d'environ 8,95 % du saut, et ajouter des termes ne le supprime pas : le dépassement devient seulement plus étroit et plus proche du saut. La limite exacte du pic est (2/π)Si(π) ≈ 1,179 pour un saut de −1 à 1.
- Que dit l'égalité de Parseval ?
- La moyenne de f² vaut (a₀/2)² + ½Σ(aₙ² + bₙ²). L'énergie oubliée par une somme partielle, et donc l'erreur quadratique moyenne, se lit directement sur les coefficients manquants.
- Combien d'harmoniques faut-il pour une erreur RMS donnée ?
- Utilise Parseval : l'erreur quadratique moyenne après N harmoniques est la moyenne de f² moins (a₀/2)² moins la moitié de la somme des aₙ² + bₙ² gardés. Pour le signal carré, la moyenne de f² vaut 1 et chaque harmonique impair retire 8/(π²n²). L'erreur RMS vaut 0,1006 pour N = 39 et passe sous 0,1 pour la première fois à N = 41 (0,0982). N pour une erreur RMS, dans Calculer, fait la somme.