Dérivée par le taux d'accroissement
La pente d'une courbe en un point est la limite des pentes des sécantes. Rapproche le second point Q de P et la sécante devient la tangente.
Juste le résultat ? Calculatrice graphique
Taux d'accroissement et f'(x)
Mesures
Ce qui se passe
Une courbe n'a pas une seule pente, alors on la mesure en un point P = (x, f(x)). Prends un second point Q un pas horizontal h plus loin. La sécante PQ a pour pente le taux d'accroissement (f(x + h) − f(x))/h, toujours calculable.
Quand h tend vers 0, Q glisse le long de la courbe vers P et la pente de la sécante se stabilise sur une valeur : le nombre dérivé f'(x), pente de la tangente en P. Pour f(x) = x² le taux vaut exactement 2x + h, donc la limite est 2x. Le graphique trace le taux pour chaque x avec le h actuel, face à la vraie f'(x) : les deux se rejoignent quand h tend vers 0.
Dans Avancé, la différence centrée (f(x + h) − f(x − h))/(2h) prend un point de chaque côté et son erreur diminue comme h² au lieu de h. Un ordinateur ne peut pas amener h jusqu'à 0 : en dessous d'environ 10⁻⁸, les erreurs d'arrondi l'emportent, et le graphique de l'erreur le montre.
- Définition du nombre dérivéf'(x) = lim (f(x + h) − f(x)) / h quand h → 0
- Erreur de la différence avanterreur avant ≈ ½ f''(x) h
- Différence centrée(f(x + h) − f(x − h)) / 2h, erreur ≈ ⅙ f'''(x) h²
Au programme
- Lycée spécialité maths, premièretaux d'accroissement, nombre dérivé, tangente
- Licence première annéedifférences finies et erreur d'arrondi
Défi
Prédis d'abord : pour f(x) = x³ en x = 2, quelle est la pente de la sécante pour h = 1, et vers quoi tend-elle quand h diminue ? Choisis x³, mets x = 2, tape ta valeur de f'(2) dans la case, puis appuie sur Réduire h.
Avec h = 1 la sécante va de (2, 8) à (3, 27), donc sa pente vaut 19. En général (2 + h)³ − 8 = 12h + 6h² + h³, donc le taux vaut 12 + 6h + h², qui tend vers 12 = 3 × 2². L'erreur 6h + h² diminue à peu près proportionnellement à h.
Apprends-le pour de bon
Des leçons de GCSE Maths sur ce sujet : des étapes détaillées, puis des questions type examen avec de nouveaux nombres à chaque fois. Les leçons sont en anglais.
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Questions fréquentes
Comment dériver x² avec le taux d'accroissement ?
Écris le taux : ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h. Fais tendre h vers 0 : le taux tend vers 2x, donc f'(x) = 2x. Le h disparaît seulement à la limite, jamais en posant h = 0 dans la fraction, ce qui donnerait 0/0.
Pourquoi ne pas simplement poser h = 0 ?
La sécante a besoin de deux points distincts. Pour h = 0 la fraction vaut 0/0, qui n'a pas de valeur. Le nombre dérivé est la valeur dont le taux se rapproche quand h diminue : une limite.
Pourquoi la différence centrée est-elle plus précise ?
En développant f(x ± h) en série de Taylor, les termes en h² s'annulent dans f(x + h) − f(x − h), donc l'erreur vaut environ f'''(x)h²/6 au lieu de f''(x)h/2. Diviser h par 2 divise l'erreur avant par 2 et l'erreur centrée par 4. Sur le graphique log-log, les droites ont des pentes 1 et 2.
Pourquoi l'erreur remonte-t-elle quand h est minuscule ?
Un ordinateur garde environ 16 chiffres significatifs. Quand h est minuscule, f(x + h) et f(x) ont presque tous leurs chiffres en commun, la différence perd presque toute sa précision et la division par h amplifie cette erreur d'arrondi d'environ 10⁻¹⁶/h. Le meilleur h avant est proche de 10⁻⁸. La simulation s'arrête à h = 10⁻⁶ pour que les mesures gardent un sens, et le graphique montre déjà le plancher.
Où la courbe y = x³ a-t-elle une pente de 12 ?
Pose f'(x) = 3x² = 12 : x² = 4, donc x = 2 ou x = −2, aux points (2, 8) et (−2, −8). Dans Calculer, choisis x pour une pente et tape 12 : les deux solutions s'affichent et P se place sur l'une d'elles.