Ableitung mit dem Differenzenquotienten
Die Steigung einer Kurve in einem Punkt ist der Grenzwert der Sekantensteigungen. Zieh den zweiten Punkt Q an P heran und die Sekante wird zur Tangente.
Nur das Ergebnis? Grafikrechner
Differenzenquotient und f'(x)
Messwerte
Was passiert hier
Eine Kurve hat keine einheitliche Steigung, also misst man sie in einem Punkt P = (x, f(x)). Nimm einen zweiten Punkt Q einen waagerechten Schritt h weiter. Die Sekante PQ hat die Steigung (f(x + h) − f(x))/h, den Differenzenquotienten, den man immer ausrechnen kann.
Geht h gegen 0, rutscht Q auf der Kurve zu P und die Sekantensteigung pendelt sich auf einen Wert ein: die Ableitung f'(x), die Steigung der Tangente in P. Für f(x) = x² ist der Differenzenquotient genau 2x + h, der Grenzwert also 2x. Das Diagramm zeigt den Differenzenquotienten für jedes x beim aktuellen h neben der echten f'(x): Beide treffen sich, wenn h gegen 0 geht.
Unter Erweitert nimmt der zentrale Differenzenquotient (f(x + h) − f(x − h))/(2h) je einen Punkt auf beiden Seiten, und sein Fehler schrumpft wie h² statt wie h. Ein Computer kann h nicht bis 0 treiben: Unter etwa 10⁻⁸ übernehmen Rundungsfehler, wie das Fehlerdiagramm zeigt.
- Ableitung als Grenzwertf'(x) = lim (f(x + h) − f(x)) / h für h → 0
- Fehler der VorwärtsdifferenzVorwärtsfehler ≈ ½ f''(x) h
- Zentrale Differenz(f(x + h) − f(x − h)) / 2h, Fehler ≈ ⅙ f'''(x) h²
Im Lehrplan
- Oberstufe Mathematik AnalysisDifferenzenquotient, Ableitung als Grenzwert, Tangentensteigung
- Erstes Studienjahrfinite Differenzen und Rundungsfehler in der Numerik
Challenge
Erst schätzen: Wie groß ist für f(x) = x³ bei x = 2 die Sekantensteigung mit h = 1, und wogegen geht sie, wenn h kleiner wird? Wähle x³, stell x = 2 ein, gib deinen Wert für f'(2) ein und drück h verkleinern.
Mit h = 1 läuft die Sekante von (2, 8) nach (3, 27), ihre Steigung ist also 19. Allgemein gilt (2 + h)³ − 8 = 12h + 6h² + h³, der Differenzenquotient ist also 12 + 6h + h² und geht gegen 12 = 3 × 2². Der Fehler 6h + h² schrumpft ungefähr proportional zu h.
Richtig lernen
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Häufige Fragen
Wie leite ich x² mit dem Differenzenquotienten ab?
Schreib den Differenzenquotienten auf: ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h. Lass h gegen 0 gehen: Der Quotient geht gegen 2x, also f'(x) = 2x. Das h verschwindet erst im Grenzwert, nie durch Einsetzen von h = 0 in den Bruch, denn das ergäbe 0/0.
Warum kann man nicht einfach h = 0 einsetzen?
Die Sekante braucht zwei verschiedene Punkte. Bei h = 0 steht 0/0 da, und das hat keinen Wert. Die Ableitung ist der Wert, dem sich der Differenzenquotient nähert, wenn h kleiner wird: ein Grenzwert.
Warum ist der zentrale Differenzenquotient genauer?
Entwickelt man f(x ± h) als Taylorreihe, heben sich die h²-Terme in f(x + h) − f(x − h) auf, und der Fehler ist etwa f'''(x)h²/6 statt f''(x)h/2. Halbiert man h, halbiert sich der Vorwärtsfehler und der zentrale Fehler wird geviertelt. Im doppelt logarithmischen Fehlerdiagramm haben die Geraden die Steigungen 1 und 2.
Warum wird der Fehler bei winzigem h wieder größer?
Ein Computer speichert etwa 16 signifikante Stellen. Ist h winzig, stimmen f(x + h) und f(x) in fast allen Stellen überein, die Differenz verliert fast ihre ganze Genauigkeit, und das Teilen durch h vergrößert diesen Rundungsfehler von etwa 10⁻¹⁶/h. Das beste Vorwärts-h liegt bei etwa 10⁻⁸. Die Simulation hört bei h = 10⁻⁶ auf, damit die Messwerte aussagekräftig bleiben, und das Fehlerdiagramm zeigt den Boden schon.
Wo hat y = x³ die Steigung 12?
Setze f'(x) = 3x² gleich 12: x² = 4, also x = 2 oder x = −2, in den Punkten (2, 8) und (−2, −8). Unter Berechnen wählst du x zu einer Steigung und gibst 12 ein: beide Lösungen erscheinen, und P springt zu einer davon.