Integral als Fläche unter der Kurve
Ein bestimmtes Integral ist die orientierte Fläche zwischen Kurve und x-Achse. Füll sie mit Streifen, addiere sie und sieh zu, wie die Summe dem exakten Wert näherkommt, wenn die Streifen schmaler werden.
Nur das Ergebnis? Grafikrechner
Fehler über n (logarithmische Achsen)
Messwerte
Was passiert hier
Teil das Intervall von a bis b in n Streifen der Breite h = (b − a)/n. Ein Rechteck auf jedem Streifen, mit der Höhe am linken Rand, am rechten Rand oder in der Mitte, ergibt eine Riemann-Summe (Unter- oder Obersumme). Verbindet man die Höhen mit Strecken, erhält man die Trapezregel, und eine Parabel durch je zwei Streifen ergibt die Simpsonregel.
Mit wachsendem n gehen alle diese Summen gegen denselben Grenzwert: das Integral ∫ f(x) dx von a bis b, das man auch exakt mit einer Stammfunktion F als F(b) − F(a) bekommt. Fläche unter der Achse zählt negativ, deshalb ist sie rosa.
Wie schnell der Fehler schrumpft, hängt von der Regel ab: Verdoppelt man n, halbiert sich der Fehler der Rechtecke links und rechts, bei Mittelpunkt- und Trapezregel wird er geviertelt und bei Simpson durch 16 geteilt. Auf logarithmischen Achsen sind das Geraden mit den Steigungen −1, −2 und −4.
- Bestimmtes Integral∫ f(x) dx von a bis b = F(b) − F(a)
- Trapezregel½h [y₀ + 2(y₁ + … + yₙ₋₁) + yₙ]
- Simpsonregel⅓h [y₀ + 4y₁ + 2y₂ + … + 4yₙ₋₁ + yₙ]
Im Lehrplan
- Oberstufe Mathematik Integralrechnungbestimmtes Integral, Flächen unter der x-Achse, Ober- und Untersummen
- Erstes Studienjahrnumerische Integration, Trapez- und Simpsonregel mit Fehlerordnung
Challenge
Erst schätzen: Um welchen Faktor wird der Fehler der Trapezregel für ∫ x² dx von 0 bis 2 kleiner, wenn n von 4 auf 8 steigt? Und bei Simpson? Gib deinen Faktor ein und drück n verdoppeln.
Der Fehler der Trapezregel ist h²(b − a)f''/12, halbes h viertelt ihn also: 1/12 bei n = 4, 1/48 bei n = 8. Die Simpsonregel ist für x² exakt, ihr Fehler ist für jedes gerade n gleich 0. Versuch x³: Simpson bleibt exakt, weil ihr Fehler von der vierten Ableitung abhängt. Mit eˣ siehst du den Faktor 16.
Richtig lernen
Lektionen aus GCSE Maths zu diesem Thema: Schritt für Schritt erklärt, dann Prüfungsfragen mit jedes Mal neuen Zahlen. Die Lektionen sind auf Englisch.
- Perimeter and areaArea, perimeter and volumeKostenlos
- Rates of change from graphsRates, compound measures and growthPlus
Ganzen Kurs ansehenDer ganze Kurs, Thementests und Probeprüfungen sind in Plus enthalten. Plus ansehen
Häufige Fragen
Wie wende ich die Trapezregel an?
Nimm n Streifen der Breite h = (b − a)/n, berechne die Höhen y₀ bis yₙ an den Rändern, dann ist die Fläche ≈ ½h [y₀ + yₙ + 2(y₁ + y₂ + … + yₙ₋₁)]. Für ∫ x² dx von 0 bis 1 mit n = 4: h = 0,25, die Höhen sind 0; 0,0625; 0,25; 0,5625; 1, und der Schätzwert ist 0,34375 statt exakt 1/3.
Schätzt die Trapezregel zu viel oder zu wenig?
Ist die Kurve linksgekrümmt (f'' > 0), liegt jede Strecke über der Kurve und die Regel schätzt zu viel. Bei Rechtskrümmung (f'' < 0) schätzt sie zu wenig. Die Mittelpunktregel macht es umgekehrt, mit etwa halb so großem Fehler.
Warum ist Fläche unter der x-Achse negativ?
Das Integral addiert f(x) mal Streifenbreite, und dort ist f(x) negativ. Für die echte Fläche zwischen Kurve und Achse integriert man jeden Teil einzeln und addiert die Beträge. Unter Erweitert stehen beide Teile.
Warum ist die Simpsonregel so viel genauer?
Sie legt durch je drei Punkte eine Parabel, ist also für alle Polynome bis Grad 3 exakt, und ihr Fehler ist etwa h⁴(b − a)f''''/180. Halbes h teilt den Fehler durch 16. Sie braucht eine gerade Streifenzahl, weil jede Parabel zwei Streifen abdeckt.
Welche obere Grenze b macht die Fläche unter y = x² von 0 bis b gleich 9?
Das Integral von x² von 0 bis b ist b³/3, also b³/3 = 9, b³ = 27 und b = 3. Unter Berechnen wählst du b zu einer Fläche, setzt a = 0 und das Ziel 9. Bei Kurven wie x³ oder sin x erscheinen alle passenden b.