Einheitskreis: exakte Werte
Der Einheitskreis hat den Radius 1 und den Mittelpunkt im Ursprung, also liegt der Punkt zum Winkel θ bei (cos θ, sin θ). Zieh den Punkt, um die exakten Werte zu sehen.
0°
0 rad
Auf der positiven x-Achse
Der Punkt liegt bei (cos θ, sin θ): (1; 0)
Sinus- und Kosinuskurve
Pfeiltasten bewegen um 1°, Bild auf und Bild ab um 15°.
Tastenkürzel
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- ?
- Tastenkürzel
So funktioniert es
Miss den Winkel θ gegen den Uhrzeigersinn ab der positiven x-Achse. Der Radius verbindet den Mittelpunkt mit dem Punkt. Er ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und hat die Länge 1.
Die waagerechte Seite ist 1 × cos θ, die senkrechte 1 × sin θ. Deshalb liegt der Punkt bei (cos θ, sin θ), und tan θ = sin θ ÷ cos θ.
Exakte Werte von 0° bis 90°
Lern diese fünf Zeilen. Alle anderen besonderen Winkel am Kreis haben dieselben Zahlen, nur mit anderem Vorzeichen.
| Winkel | Bogenmaß | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | 3/2 | 3/3 |
| 45° | π/4 | 2/2 | 2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 3/2 | 1/2 | 3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | nicht definiert |
Du siehst tan 30° auch als 1/3 und sin 45° als 1/2. Das sind dieselben Zahlen: 1/3 = 3/3 und 1/2 = 2/2.
Alle besonderen Winkel am Kreis
Ab 90° suchst du den Bezugswinkel (den spitzen Winkel zwischen Radius und x-Achse), liest seine Werte oben in der Tabelle ab und gibst jedem das Vorzeichen seines Quadranten.
| Winkel | Bogenmaß | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 120° | 2π/3 | 3/2 | −1/2 | −3 |
| 135° | 3π/4 | 2/2 | −2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | −3/2 | −3/3 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −1/2 | −3/2 | 3/3 |
| 225° | 5π/4 | −2/2 | −2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −3/2 | −1/2 | 3 |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | nicht definiert |
| 300° | 5π/3 | −3/2 | 1/2 | −3 |
| 315° | 7π/4 | −2/2 | 2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | −1/2 | 3/2 | −3/3 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
Das Wichtigste
- Punkt auf dem Kreis: (cos θ, sin θ). x ist cos θ und y ist sin θ.
- Tangens: tan θ = sin θ ÷ cos θ. Bei 90° und 270° ist er nicht definiert, weil cos θ dort 0 ist und man nicht durch 0 teilen kann.
- Trigonometrischer Pythagoras: sin²θ + cos²θ = 1 für jeden Winkel. Das ist der Satz des Pythagoras im Dreieck mit der Hypotenuse 1.
- Vorzeichen je Quadrant: Im ersten sind alle drei positiv, im zweiten nur sin, im dritten nur tan, im vierten nur cos.
- Symmetrie: sin(180° − θ) = sin θ und cos(180° − θ) = −cos θ. In die andere Richtung gilt sin(−θ) = −sin θ und cos(−θ) = cos θ.
- Periode: Alle 360° wiederholen sich die Werte, also sin(θ + 360°) = sin θ und cos(θ + 360°) = cos θ.
- Grad in Bogenmaß: mit π/180 multiplizieren, also 30° = π/6 und 135° = 3π/4. Zurück geht es mit 180/π.
Rechenbeispiele
Beispiel 1
Bestimme die exakten Werte von sin, cos und tan für 150°.
- 150° liegt im zweiten Quadranten, wo der Sinus positiv und der Kosinus negativ ist.
- Der Bezugswinkel ist 180° − 150° = 30°.
- sin 30° = 1/2 und cos 30° = 3/2.
- Also ist sin 150° = 1/2, cos 150° = −3/2 und tan 150° = (1/2) ÷ (−3/2) = −1/3 = −3/3.
Ergebnis: sin 150° = 1/2, cos 150° = −3/2, tan 150° = −3/3.
Beispiel 2
Löse sin θ = 1/2 für 0° ≤ θ < 360°.
- sin θ ist positiv, also liegt θ im ersten oder zweiten Quadranten.
- sin 30° = 1/2, also ist der Bezugswinkel 30°.
- Erster Quadrant: θ = 30°. Zweiter Quadrant: θ = 180° − 30° = 150°.
Ergebnis: θ = 30° oder θ = 150° (π/6 oder 5π/6 im Bogenmaß).
Häufige Fehler
- Dem Kosinus im zweiten Quadranten ein positives Vorzeichen geben: Dort ist nur der Sinus positiv.
- Sinus und Kosinus vertauschen: x ist cos θ und y ist sin θ.
- Einen Wert für tan 90° angeben: Er ist nicht definiert, weil cos 90° = 0.
- Bei einer Lösung aufhören: sin θ = 1/2 hat zwischen 0° und 360° zwei, nämlich 30° und 150°.
- Die Einheit verwechseln: Prüf, ob die Aufgabe in Grad oder im Bogenmaß rechnet, und stell den Taschenrechner passend ein. 150° sind 5π/6 im Bogenmaß.
Richtig lernen
Lektionen aus GCSE Maths zu diesem Thema: Schritt für Schritt erklärt, dann Prüfungsfragen mit jedes Mal neuen Zahlen. Die Lektionen sind auf Englisch.
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Häufige Fragen
- Warum liegt der Punkt bei (cos θ, sin θ)?
- Der Radius ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks und hat die Länge 1. Die waagerechte Seite ist 1 × cos θ, die senkrechte 1 × sin θ. Das sind die Koordinaten des Punkts.
- Woher kommen exakte Werte wie √3/2?
- Aus zwei besonderen Dreiecken. Ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 2 hat die Seiten 1, 3 und 2, also sin 60° = 3/2 und cos 60° = 1/2. Ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit Katheten 1 hat die Hypotenuse 2, also sin 45° = cos 45° = 2/2.
- Was ist ein Bezugswinkel?
- Der spitze Winkel zwischen Radius und x-Achse. Ein Winkel und sein Bezugswinkel haben dieselben Werte für sin, cos und tan bis auf das Vorzeichen, das vom Quadranten abhängt.
- Warum ist tan 90° nicht definiert?
- tan θ = sin θ ÷ cos θ, und bei 90° ist cos θ = 0. tan 90° hieße also 1 durch 0 teilen, und das hat keinen Wert. Die Tangenskurve hat bei 90° eine senkrechte Asymptote, ebenso bei 270°.
- Welche exakten Werte brauche ich für das GCSE?
- Der Lehrplan, dem AQA, Pearson Edexcel und OCR folgen (DfE G21), verlangt sin und cos von 0°, 30°, 45°, 60° und 90° und tan von 0°, 30°, 45° und 60°, ohne Taschenrechner. Das ist die erste Tabelle auf dieser Seite, für Foundation und Higher.
- Warum ist sin 30° = cos 60°?
- Im rechtwinkligen Dreieck ergeben die beiden anderen Winkel zusammen 90°. Die Gegenkathete von 30° ist also die Ankathete von 60°, und sin 30° und cos 60° sind dasselbe Verhältnis, 1/2. Allgemein gilt sin θ = cos(90° − θ), deshalb ist auch sin 60° = cos 30° = 3/2.