Círculo unitario: valores exactos
El círculo unitario (o circunferencia goniométrica) tiene radio 1 y centro en el origen, así que el punto del ángulo θ es (cos θ, sen θ). Arrastra el punto para ver los valores exactos.
0°
0 rad
Sobre el semieje x positivo
El punto está en (cos θ, sen θ): (1; 0)
Gráficas del seno y el coseno
Las flechas mueven 1°; Re Pág y Av Pág, 15°.
Atajos de teclado
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Cómo funciona
Mide el ángulo θ en sentido antihorario desde el semieje x positivo. El radio une el centro con el punto. Es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y mide 1.
El cateto horizontal mide 1 × cos θ y el vertical 1 × sen θ. Por eso el punto de la circunferencia es (cos θ, sen θ), y tg θ = sen θ ÷ cos θ.
Valores exactos de 0° a 90°
Apréndete estas cinco filas. Los demás ángulos notables de la circunferencia usan los mismos números con otro signo.
| Ángulo | Radianes | sen θ | cos θ | tg θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | 3/2 | 3/3 |
| 45° | π/4 | 2/2 | 2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 3/2 | 1/2 | 3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | no definida |
También verás tg 30° escrita como 1/3 y sen 45° como 1/2. Son los mismos números: 1/3 = 3/3 y 1/2 = 2/2.
Todos los ángulos notables de la circunferencia
A partir de 90°, busca el ángulo de referencia (el ángulo agudo entre el radio y el eje x), lee sus valores en la tabla de arriba y ponle a cada uno el signo de su cuadrante.
| Ángulo | Radianes | sen θ | cos θ | tg θ |
|---|---|---|---|---|
| 120° | 2π/3 | 3/2 | −1/2 | −3 |
| 135° | 3π/4 | 2/2 | −2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | −3/2 | −3/3 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −1/2 | −3/2 | 3/3 |
| 225° | 5π/4 | −2/2 | −2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −3/2 | −1/2 | 3 |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | no definida |
| 300° | 5π/3 | −3/2 | 1/2 | −3 |
| 315° | 7π/4 | −2/2 | 2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | −1/2 | 3/2 | −3/3 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
Lo esencial
- Punto de la circunferencia: (cos θ, sen θ). x es cos θ e y es sen θ.
- Tangente: tg θ = sen θ ÷ cos θ. No está definida en 90° ni en 270°, porque ahí cos θ vale 0 y no se puede dividir entre 0.
- Identidad fundamental: sen²θ + cos²θ = 1 para cualquier ángulo. Es el teorema de Pitágoras en el triángulo, cuya hipotenusa mide 1.
- Signos por cuadrante: en el primero las tres razones son positivas; en el segundo, solo el seno; en el tercero, solo la tangente; en el cuarto, solo el coseno.
- Simetrías: sen(180° − θ) = sen θ y cos(180° − θ) = −cos θ. En sentido contrario, sen(−θ) = −sen θ y cos(−θ) = cos θ.
- Periodo: los valores se repiten cada 360°, así que sen(θ + 360°) = sen θ y cos(θ + 360°) = cos θ.
- De grados a radianes: multiplica por π/180, así que 30° = π/6 y 135° = 3π/4. Para volver, multiplica por 180/π.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Halla los valores exactos del seno, el coseno y la tangente de 150°.
- 150° está en el segundo cuadrante, donde el seno es positivo y el coseno negativo.
- El ángulo de referencia es 180° − 150° = 30°.
- sen 30° = 1/2 y cos 30° = 3/2.
- Así que sen 150° = 1/2, cos 150° = −3/2 y tg 150° = (1/2) ÷ (−3/2) = −1/3 = −3/3.
Resultado: sen 150° = 1/2, cos 150° = −3/2, tg 150° = −3/3.
Ejemplo 2
Resuelve sen θ = 1/2 para 0° ≤ θ < 360°.
- sen θ es positivo, así que θ está en el primer o en el segundo cuadrante.
- sen 30° = 1/2, así que el ángulo de referencia es 30°.
- Primer cuadrante: θ = 30°. Segundo cuadrante: θ = 180° − 30° = 150°.
Resultado: θ = 30° o θ = 150° (π/6 o 5π/6 en radianes).
Errores frecuentes
- Dar al coseno signo positivo en el segundo cuadrante: ahí solo el seno es positivo.
- Confundir seno y coseno: x es cos θ e y es sen θ.
- Dar un valor para tg 90°: no está definida, porque cos 90° = 0.
- Quedarte con una sola solución: sen θ = 1/2 tiene dos entre 0° y 360°, 30° y 150°.
- Confundir las unidades: mira si el enunciado usa grados o radianes y pon la calculadora en el mismo modo. 150° son 5π/6 radianes.
Apréndelo bien
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Preguntas frecuentes
- ¿Por qué el punto está en (cos θ, sen θ)?
- El radio es la hipotenusa del triángulo rectángulo y mide 1. El cateto horizontal mide 1 × cos θ y el vertical 1 × sen θ, así que esas son las coordenadas del punto.
- ¿De dónde salen valores exactos como √3/2?
- De dos triángulos especiales. La mitad de un triángulo equilátero de lado 2 tiene lados 1, 3 y 2, así que sen 60° = 3/2 y cos 60° = 1/2. Un triángulo rectángulo isósceles de catetos 1 tiene hipotenusa 2, así que sen 45° = cos 45° = 2/2.
- ¿Qué es el ángulo de referencia?
- Es el ángulo agudo entre el radio y el eje x. Un ángulo y su ángulo de referencia tienen el mismo seno, coseno y tangente salvo el signo, que depende del cuadrante.
- ¿Por qué no está definida la tg 90°?
- tg θ = sen θ ÷ cos θ, y en 90° cos θ = 0, así que tg 90° supondría dividir 1 entre 0, que no tiene valor. La gráfica de la tangente tiene una asíntota vertical en 90°, y lo mismo ocurre en 270°.
- ¿Qué valores exactos necesito para el GCSE?
- El temario que siguen AQA, Pearson Edexcel y OCR (DfE G21) pide saber sen y cos de 0°, 30°, 45°, 60° y 90°, y tg de 0°, 30°, 45° y 60°, sin calculadora. Es la primera tabla de esta página, y entra tanto en Foundation como en Higher.
- ¿Por qué sen 30° = cos 60°?
- En un triángulo rectángulo los otros dos ángulos suman 90°, así que el cateto opuesto a 30° es el contiguo a 60°. Por eso sen 30° y cos 60° son la misma razón, 1/2. En general, sen θ = cos(90° − θ); por eso también sen 60° = cos 30° = 3/2.