Teoremas de la circunferencia
Ocho teoremas de la circunferencia, uno a uno. Arrastra los puntos por la circunferencia y mira cómo cambian los ángulos mientras el teorema se sigue cumpliendo, con la justificación que debes escribir en el examen.
Lecturas
Qué está pasando
Todos los teoremas de la circunferencia salen de un hecho: los radios OA, OB y OC son iguales, así que los triángulos que forman con las cuerdas son isósceles. Si divides la figura por el centro, eso da el teorema principal: el ángulo central es el doble del ángulo inscrito que abarca el mismo arco. El resto se deduce de él.
Dos ángulos inscritos que abarcan el mismo arco valen la mitad del mismo ángulo central, así que son iguales. Un diámetro forma un ángulo central de 180°, así que el ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90°. Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito abarcan arcos que completan la circunferencia, así que suman 180°.
Una tangente toca la circunferencia en un punto y es perpendicular al radio en ese punto; de ahí que los dos segmentos tangentes desde un punto exterior sean iguales y que se cumpla el teorema del ángulo semiinscrito. La perpendicular desde el centro a una cuerda divide un triángulo isósceles en dos mitades, así que biseca la cuerda.
- Ángulo central∠AOB = 2∠ACB
- Ángulos en el mismo arco∠ACB = ∠ADB
- Cuadrilátero cíclico∠A + ∠C = 180°
- Tangente y radiotangente ⟂ radio
En el temario
- ESO 3.º y 4.ºángulos en la circunferencia, ángulo central e inscrito
- Bachilleratogeometría de la circunferencia y rectas tangentes
Reto
Predice primero: en el teorema del ángulo central, pon A en 40°, B en 150° y C en 270°. ¿Cuánto mide el ángulo x = ∠ACB? Calcula primero ∠AOB, escribe x (la figura lo oculta mientras escribes) y pulsa Comprobar.
∠AOB = 150° − 40° = 110°, y el ángulo inscrito es la mitad, así que x = 55°. Ahora arrastra C al arco pequeño entre A y B: ∠AOB pasa a ser el ángulo cóncavo de 250° y x pasa a 125°, otra vez justo la mitad.
Apréndelo bien
Lecciones de GCSE Maths sobre este tema: pasos resueltos y después preguntas tipo examen con números nuevos cada vez. Las lecciones están en inglés.
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Preguntas frecuentes
¿Qué relación hay entre el ángulo central y el inscrito?
El ángulo central mide el doble que cualquier ángulo inscrito que abarque el mismo arco. Si el ángulo central mide 120°, el inscrito mide 60°.
¿Por qué el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto?
Porque abarca un diámetro, cuyo ángulo central es 180°, y el inscrito es la mitad: 90°. Es el teorema de Tales.
¿Cuánto suman los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito?
180°. Cada uno es la mitad del ángulo central de su arco, y los dos arcos juntos forman la circunferencia entera, 360°.
¿Qué es el ángulo semiinscrito?
Es el ángulo entre una tangente y una cuerda que salen del mismo punto. Mide lo mismo que el ángulo inscrito que abarca esa cuerda desde el otro lado: es el teorema del segmento alterno.
¿Cuánto mide la tangente desde un punto a 13 cm del centro de un círculo de radio 5 cm?
La tangente es perpendicular al radio, así que PT² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 y PT = 12 cm. En Calcular está como Longitud de la tangente, y Hallar x da el ángulo que falta con su justificación en cada teorema.